Calcule o centro de massa do corpo homogêneo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o centro de massa de um corpo homogêneo definido pela região
. Isso envolve conceitos de Cálculo de Massa e Centro de Massa. Para resolver, vamos precisar usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, como o corpo é homogêneo, a densidade é constante. Isso simplifica os cálculos porque podemos considerar a densidade igual a 1 sem perda de generalidade. Além disso, devido à simetria do problema em relação aos eixos
e
, sabemos que as coordenadas
e
do centro de massa serão zero.
Passo 3
Vamos focar em encontrar a coordenada
do centro de massa. A fórmula para
é:
onde
é o volume do corpo.
Passo 4
Vamos calcular o volume
usando coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. As desigualdades
se traduzem para
.
Os limites de integração serão:
-
varia de a , -
varia de a (já que ), -
varia de a .
Então, o volume
é:
Passo 5
Vamos resolver a integral do volume:
Integrando em
:
Agora, integrando em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral para
:
Integrando em
:
Agora, integrando em
:
E integrando em
:
Passo 7
Agora, podemos calcular
:
Resposta
O centro de massa do corpo homogêneo é
.
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.
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onde
.
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, onde
.