Calcule o centro de massa do corpo homogêneo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o centro de massa de um corpo homogêneo definido pela região . Isso envolve conceitos de Cálculo de Massa e Centro de Massa. Para resolver, vamos precisar usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, como o corpo é homogêneo, a densidade é constante. Isso simplifica os cálculos porque podemos considerar a densidade igual a 1 sem perda de generalidade. Além disso, devido à simetria do problema em relação aos eixos e , sabemos que as coordenadas e do centro de massa serão zero.

Passo 3

Vamos focar em encontrar a coordenada do centro de massa. A fórmula para é:
onde é o volume do corpo.

Passo 4

Vamos calcular o volume usando coordenadas cilíndricas, onde , , e . As desigualdades se traduzem para .
Os limites de integração serão:
  • varia de a ,
  • varia de a (já que ),
  • varia de a .
Então, o volume é:

Passo 5

Vamos resolver a integral do volume:
Integrando em :
Agora, integrando em :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral para :
Integrando em :
Agora, integrando em :
E integrando em :

Passo 7

Agora, podemos calcular :

Resposta

O centro de massa do corpo homogêneo é .

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