Calcule o limite lim t 0 r(t) onde r(t)=(t sin (t^2), e^t^3, cos (t)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e queremos calcular o limite dessa função quando se aproxima de 0. Para fazer isso, vamos calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: limt to 0 t sin(t^2) approx limt to 0 t cdot t^2 = limt to 0 t^3 .
Sabemos que, quando limt to 0 t^3 = 0 está perto de 0, é aproximadamente igual a . Então, podemos usar essa aproximação aqui:
E claramente,
Então, a primeira componente do limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 0 e^t^3 = e^0 = 1 .
A função exponencial é contínua para todo valor de , o que significa que podemos simplesmente substituir por 0:
Então, a segunda componente do limite é 1.

Passo 4

Por fim, a terceira componente: limt to 0 cos(t) = cos(0) = 1 .
A função cosseno também é contínua para todo valor de , então substituímos por 0 diretamente:
Então, a terceira componente do limite é 1.

Resposta

O limite da função vetorial quando tende a 0 é .

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