Calcule , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva para e então substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. A curva é dada por , então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de e em relação a :
  • Para , a derivada depende do sinal de :
    • Se , então e
    • Se , então e
    • Em , a derivada não está definida, mas como isso é um único ponto, não afeta a integral.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, para positivo e negativo:
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo na integral para cada intervalo:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos integrar cada parte:
Para :
Para :

Passo 7

Somando as duas partes:

Resposta

O valor da integral é .

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