Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
para
e então substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. A curva é dada por
, então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
-
- Para
, a derivada depende do sinal de : - Se
, então e - Se
, então e - Em
, a derivada não está definida, mas como isso é um único ponto, não afeta a integral.
- Se
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes, para
positivo e
negativo:
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo na integral para cada intervalo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 7
Somando as duas partes:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
onde
.
Calcule o centro de massa do corpo homogêneo
.
Calcule o limite
para
.
Considere a função
. Calcule
e
.