Calcule integralgamma x d x+x y d y, onde gamma(t)=(t,|t|),-1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralgamma x , dx + x y , dy. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva gamma(t) = (t, |t|) para -1 <= t <= 1 e então substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. A curva é dada por gamma(t) = (t, |t|), então:
  • x(t) = t
  • y(t) = |t|

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
  • dxdt = 1
  • Para y(t) = |t|, a derivada dydt depende do sinal de t:
    • Se t > 0, então y(t) = t e dydt = 1
    • Se t < 0, então y(t) = -t e dydt = -1
    • Em t=0, a derivada não está definida, mas como isso é um único ponto, não afeta a integral.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, para t positivo e t negativo:
Para t in [0, 1]:
  • y(t) = t
  • dydt = 1
Para t in [-1, 0]:
  • y(t) = -t
  • dydt = -1

Passo 5

Substituindo na integral para cada intervalo:
Para t in [0, 1]:
integral0^1 [x(t) cdot dxdt + x(t) y(t) cdot dydt] , dt = integral0^1 [t cdot 1 + t cdot t cdot 1] , dt = integral0^1 (t + t^2) , dt
Para t in [-1, 0]:
integral-1^0 [x(t) cdot dxdt + x(t) y(t) cdot dydt] , dt = integral-1^0 [t cdot 1 + t cdot (-t) cdot (-1)] , dt = integral-1^0 (t + t^2) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar cada parte:
Para t in [0, 1]:
integral0^1 (t + t^2) , dt = [t^22 + t^33]0^1 = (12 + 13) - 0 = 56
Para t in [-1, 0]:
integral-1^0 (t + t^2) , dt = [t^22 + t^33]-1^0 = (0 + 0) - (12 - 13) = -(12 - 13) = -16

Passo 7

Somando as duas partes:
56 + (-16) = 46 = 23

Resposta

O valor da integral é 23.

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