Calcule o centro de massa do perfil plano onde: a região entre as curvas: : e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o centro de massa da região plana que está entre as curvas , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas e coordenadas do centro de massa. Vamos precisar usar integrais duplas para encontrar as coordenadas e do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . A curva é uma reta que intercepta o eixo no ponto e o eixo no ponto . A linha é o eixo e é o eixo . Assim, é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a área da região . Como é um triângulo com base 1 e altura 1, a área é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada do centro de massa. A fórmula para é:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

De maneira semelhante, vamos calcular a coordenada :
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Calculando a integral:
Então:

Resposta

O centro de massa da região está no ponto .

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