Calcule o centro de massa do perfil plano
onde:
a região entre as curvas: :
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o centro de massa da região plana
que está entre as curvas
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas e coordenadas do centro de massa. Vamos precisar usar integrais duplas para encontrar as coordenadas
e
do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. A curva
é uma reta que intercepta o eixo
no ponto
e o eixo
no ponto
. A linha
é o eixo
e
é o eixo
. Assim,
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a área
da região
. Como é um triângulo com base 1 e altura 1, a área é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a coordenada
do centro de massa. A fórmula para
é:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 5
De maneira semelhante, vamos calcular a coordenada
:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Resposta
O centro de massa da região
está no ponto
.
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.
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.
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.