Calcule as integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando métodos de integração. Para resolver, vamos precisar usar técnicas como substituição e entender um pouco sobre funções que não têm antiderivadas elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar uma substituição simples. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Observa que na nossa integral temos um
e um
, mas precisamos de um
para casar com o
. Isso indica que essa substituição não vai simplificar diretamente a integral.
Passo 3
Vamos tentar outra abordagem usando integração por partes, que segue a fórmula:
Escolhemos:
Aqui, integramos
para encontrar
. A integração de
é feita reconhecendo que a derivada de
é
, então dividimos por 2.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Agora, nos deparamos com a integral
, que é conhecida por não ter uma antiderivada que possa ser expressa em funções elementares, ou seja, funções que encontramos no ensino básico de cálculo.
Passo 5
Como a integral
não pode ser escrita usando funções elementares comuns, utilizamos uma função especial chamada “Função Erro” (erf). Portanto, a solução fica expressa em termos dessa função especial.
Resposta
A integral é dada por:
onde
é a constante de integração e
é a função erro.
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, situada mo primeiro quadrante.
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e
.
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