Calcule as integrais a seguir: integral x^2 e^x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve o cálculo de integrais, mais especificamente usando métodos de integração. Para resolver, vamos precisar usar técnicas como substituição e entender um pouco sobre funções que não têm antiderivadas elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar uma substituição simples. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Observa que na nossa integral temos um e um , mas precisamos de um para casar com o . Isso indica que essa substituição não vai simplificar diretamente a integral.

Passo 3

Vamos tentar outra abordagem usando integração por partes, que segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = x e^x^2 , dx Rightarrow v = 12 e^x^2
Aqui, integramos para encontrar . A integração de é feita reconhecendo que a derivada de é , então dividimos por 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^2 e^x^2 , dx = u v - integral v , du = x cdot 12 e^x^2 - integral 12 e^x^2 , dx
Simplificando:
12 x e^x^2 - 12 integral e^x^2 , dx
Agora, nos deparamos com a integral , que é conhecida por não ter uma antiderivada que possa ser expressa em funções elementares, ou seja, funções que encontramos no ensino básico de cálculo.

Passo 5

Como a integral não pode ser escrita usando funções elementares comuns, utilizamos uma função especial chamada “Função Erro” (erf). Portanto, a solução fica expressa em termos dessa função especial.

Resposta

A integral é dada por:
integral x^2 e^x^2 , dx = 12 x e^x^2 - 14 raizpi , erf(x) + C
onde é a constante de integração e é a função erro.

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