Calcule as integrais a seguir: integral 1x^2 raizx^2+3 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de substituição que simplificam a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir dx = du2x . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, . Precisamos rearranjar para encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos integral 1x^2 raizu cdot du2x = 12 integral 1x^3 raizu,du e na integral original:
Mas ainda temos na expressão, então precisamos expressar em termos de . Como , podemos rearranjar para . Portanto, .

Passo 4

Substituindo 12 integral 1(raizu - 3)^3 raizu,du = 12 integral 1(u - 3)^3/2 cdot u^1/2,du na integral:

Passo 5

Para simplificar essa integral, podemos reescrever os expoentes:
12 integral 1u^1/2 (u - 3)^3/2,du
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar uma substituição trigonométrica para facilitar.

Passo 6

Vamos usar uma substituição trigonométrica. Note que sugere o uso de tangente. Vamos definir . Assim, .

Passo 7

Substituindo integral 1(raiz3 tantheta)^2 raiz (raiz3 tantheta)^2 + 3 cdot raiz3 sec^2theta,dtheta e integral 13 tan^2theta cdot raiz3 sectheta cdot raiz3 sec^2theta,dtheta = integral sectheta3 tan^2theta,dtheta na integral:
Simplificando:

Passo 8

Vamos simplificar secthetatan^2theta = 1costhetasin^2thetacos^2theta = costhetasin^2theta :
13 integral costhetasin^2theta,dtheta
Então, a integral fica:

Passo 9

Fazendo uma substituição adicional, deixe 13 integral 1w^2,dw = 13 ( -1w ) + C = -13w + C , então -13 sintheta + C :
Voltando para :

Passo 10

Agora, vamos retornar para a variável original sintheta = xraizx^2 + 3 . Lembrando que -13 cdot xraizx^2 + 3 = -raizx^2 + 33x , temos:
Substituindo na expressão:

Resposta

-raizx^2 + 33x + C

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