Calcule as integrais a seguir:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de substituição que simplificam a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Precisamos rearranjar para encontrar
em termos de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Mas ainda temos
na expressão, então precisamos expressar
em termos de
. Como
, podemos rearranjar para
. Portanto,
.
Passo 4
Substituindo
na integral:
Passo 5
Para simplificar essa integral, podemos reescrever os expoentes:
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar uma substituição trigonométrica para facilitar.
Passo 6
Vamos usar uma substituição trigonométrica. Note que
sugere o uso de tangente. Vamos definir
. Assim,
.
Passo 7
Substituindo
e
na integral:
Simplificando:
Passo 8
Vamos simplificar
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Fazendo uma substituição adicional, deixe
, então
:
Voltando para
:
Passo 10
Agora, vamos retornar para a variável original
. Lembrando que
, temos:
Substituindo na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais a seguir:
.
Calcule o centro de massa do perfil plano
onde:
a região entre as curvas: :
e
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .
(e)
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: