Calcule as integrais a seguir: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de substituição que simplificam a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, . Precisamos rearranjar para encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Mas ainda temos na expressão, então precisamos expressar em termos de . Como , podemos rearranjar para . Portanto, .

Passo 4

Substituindo na integral:

Passo 5

Para simplificar essa integral, podemos reescrever os expoentes:
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar uma substituição trigonométrica para facilitar.

Passo 6

Vamos usar uma substituição trigonométrica. Note que sugere o uso de tangente. Vamos definir . Assim, .

Passo 7

Substituindo e na integral:
Simplificando:

Passo 8

Vamos simplificar :
Então, a integral fica:

Passo 9

Fazendo uma substituição adicional, deixe , então :
Voltando para :

Passo 10

Agora, vamos retornar para a variável original . Lembrando que , temos:
Substituindo na expressão:

Resposta

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Calcule o centro de massa do perfil plano onde: a região entre as curvas: : e .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: