Calcule as integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observa que temos dentro das funções trigonométricas e exponenciais. Então, vamos fazer uma substituição assim:
Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial. Calculando:
Perfeito! Isso combina exatamente com o que está na integral original.

Passo 4

Com a substituição, a integral original fica mais simples. Vamos substituir e na integral:
Agora, a gente tem uma integral em termos de .

Passo 5

Olha só, dentro dessa nova integral , vemos que a derivada de é . Isso sugere uma nova substituição para facilitar ainda mais:
Então, derivando:

Passo 6

Substituindo novamente na integral, ficamos com:
Agora, a integral está bem mais simples!

Passo 7

Integrando é direto:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar às nossas substituições iniciais para expressar a resposta em termos de . Sabemos que:
Então, substituindo de volta:

Resposta

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Calcule o centro de massa do perfil plano onde: a região entre as curvas: : e .
Calcule as integrais a seguir:
Calcule as integrais a seguir: .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .