Calcule as integrais a seguir: integral 3 x^2 cos (x^3) e^sin (x^3) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral 3 x^2 cos (x^3) e^sin (x^3) d x. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observa que temos x^3 dentro das funções trigonométricas e exponenciais. Então, vamos fazer uma substituição assim:
u = x^3
Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial. Calculando:
dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx
Perfeito! Isso combina exatamente com o 3x^2 dx que está na integral original.

Passo 4

Com a substituição, a integral original fica mais simples. Vamos substituir u e du na integral:
integral 3x^2 cos(x^3) e^sin(x^3) dx = integral cos(u) e^sin(u) du
Agora, a gente tem uma integral em termos de u.

Passo 5

Olha só, dentro dessa nova integral integral cos(u) e^sin(u) du, vemos que a derivada de sin(u) é cos(u). Isso sugere uma nova substituição para facilitar ainda mais:
v = sin(u)
Então, derivando:
dv = cos(u) du

Passo 6

Substituindo novamente na integral, ficamos com:
integral cos(u) e^sin(u) du = integral e^v dv
Agora, a integral está bem mais simples!

Passo 7

Integrando e^v dv é direto:
integral e^v dv = e^v + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, precisamos voltar às nossas substituições iniciais para expressar a resposta em termos de x. Sabemos que:
v = sin(u) = sin(x^3)
Então, substituindo de volta:
e^v + C = e^sin(x^3) + C

Resposta

integral 3 x^2 cos (x^3) e^sin (x^3) d x = e^sin(x^3) + C

Exercícios relacionados