Calcule as integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observa que temos
dentro das funções trigonométricas e exponenciais. Então, vamos fazer uma substituição assim:
Isso vai ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial. Calculando:
Perfeito! Isso combina exatamente com o
que está na integral original.
Passo 4
Com a substituição, a integral original fica mais simples. Vamos substituir
e
na integral:
Agora, a gente tem uma integral em termos de
.
Passo 5
Olha só, dentro dessa nova integral
, vemos que a derivada de
é
. Isso sugere uma nova substituição para facilitar ainda mais:
Então, derivando:
Passo 6
Substituindo novamente na integral, ficamos com:
Agora, a integral está bem mais simples!
Passo 7
Integrando
é direto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, precisamos voltar às nossas substituições iniciais para expressar a resposta em termos de
. Sabemos que:
Então, substituindo de volta:
Resposta
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Calcule o centro de massa do perfil plano
onde:
a região entre as curvas: :
e
.
Calcule as integrais a seguir:
Calcule as integrais a seguir:
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(e) .
(e)