Calcule as integrais a seguir:

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integrais racionais, onde temos uma fração envolvendo polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: . Perceba que isso pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Também precisamos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo todas as partes na integral original:

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
e
Portanto, a integral total ��:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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