Calcule as integrais a seguir: integral 3 xx^2+2 x+1 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral 3 xx^2+2 x+1 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integrais racionais, onde temos uma fração envolvendo polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: x^2 + 2x + 1. Perceba que isso pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então, nossa integral fica:
integral 3x(x + 1)^2 , dx

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x + 1
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = dx
Também precisamos expressar x em termos de u:
x = u - 1

Passo 4

Substituindo todas as partes na integral original:
integral 3(u - 1)u^2 , du = integral ( 3uu^2 - 3u^2 ) , du = integral ( 3u - 3u^-2 ) , du

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 3u , du = 3 ln|u|
e
integral -3u^-2 , du = 3u^-1 = 3u
Portanto, a integral total ��:
3 ln|u| + 3u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por x + 1:
3 ln|x + 1| + 3x + 1 + C

Resposta

A integral é igual a 3 ln|x + 1| + dfrac3x + 1 + C.

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