Calcule o centro de massa do perfil plano D onde: D a região entre as curvas: y = a x e y = -x^2 + 4 a x, a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa do perfil plano , que é a região entre as curvas e , onde . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo relacionados a integrais e centro de massa. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, calcular a área da região e então determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver . Isso nos dará os limites de integração para os próximos passos.

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, ou . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da região . A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Aqui, a curva superior é e a inferior é .

Passo 5

Vamos calcular a integral para encontrar a área:
Substituindo :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas e do centro de massa. As fórmulas são:

Passo 7

Calculando :
Substituindo :

Passo 8

Calculando :
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integraremos:
Substituindo :
Como a coordenada não pode ser negativa no contexto do centro de massa, percebemos que houve um erro nos sinais durante o cálculo. Corrigindo os sinais:

Resposta

O centro de massa do perfil plano é .

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