Calcule o centro de massa do perfil plano onde: a região entre as curvas: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa do perfil plano , que é a região entre as curvas e , onde . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo relacionados a integrais e centro de massa. Precisaremos identificar os pontos de interseção das curvas, calcular a área da região e então determinar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver . Isso nos dará os limites de integração para os próximos passos.
Passo 3
Resolvendo a equação :
Então, ou . Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da região . A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Aqui, a curva superior é e a inferior é .
Passo 5
Vamos calcular a integral para encontrar a área:
Substituindo :
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas e do centro de massa. As fórmulas são:
Passo 7
Calculando :
Substituindo :
Passo 8
Calculando :
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integraremos:
Substituindo :
Como a coordenada não pode ser negativa no contexto do centro de massa, percebemos que houve um erro nos sinais durante o cálculo. Corrigindo os sinais: