Calcule o centro de massa do perfil plano
onde:
a região da elípse
, situada mo primeiro quadrante.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o centro de massa de uma região plana
. Essa região
é a parte de uma elipse dada pela equação
que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais duplas e entender como calcular áreas e momentos para encontrar as coordenadas do centro de massa
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da região
. Como
é um quarto da elipse inteira (porque está no primeiro quadrante), podemos achar a área da elipse completa e depois dividir por 4.
A área da elipse inteira é dada por:
Então, a área de
será:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centro de massa. Para isso, usamos a fórmula:
Vou te explicar o que isso significa: a gente integra
sobre toda a área
para encontrar o “momento” em relação ao eixo
, e depois divide pela área total para achar a média, que é a coordenada
.
Para parametrizar a elipse no primeiro quadrante, podemos expressar
em função de
:
Então, os limites de integração para
vão de 0 a
, e para
, de 0 até
.
Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição
,
, a integral se simplifica e, após resolver, encontramos:
Passo 4
De maneira semelhante, vamos encontrar a coordenada
do centro de massa. A fórmula é:
Aqui, a gente integra
sobre toda a área
para encontrar o “momento” em relação ao eixo
, e depois divide pela área total para achar a média, que é a coordenada
.
Usando a mesma parametrização, temos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Então, a integral fica:
Resolvendo essa integral, encontramos:
Resposta
O centro de massa da região
no primeiro quadrante da elipse
é dado por: