Calcule o centro de massa do perfil plano D onde: D a região da elípse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, situada mo primeiro quadrante.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o centro de massa de uma região plana . Essa região é a parte de uma elipse dada pela equação que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais duplas e entender como calcular áreas e momentos para encontrar as coordenadas do centro de massa .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da região . Como é um quarto da elipse inteira (porque está no primeiro quadrante), podemos achar a área da elipse completa e depois dividir por 4.
A área da elipse inteira é dada por:
Então, a área de será:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a coordenada do centro de massa. Para isso, usamos a fórmula:
Vou te explicar o que isso significa: a gente integra sobre toda a área para encontrar o “momento” em relação ao eixo , e depois divide pela área total para achar a média, que é a coordenada .
Para parametrizar a elipse no primeiro quadrante, podemos expressar em função de :
Então, os limites de integração para vão de 0 a , e para , de 0 até .
Vamos montar a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição , , a integral se simplifica e, após resolver, encontramos:

Passo 4

De maneira semelhante, vamos encontrar a coordenada do centro de massa. A fórmula é:
Aqui, a gente integra sobre toda a área para encontrar o “momento” em relação ao eixo , e depois divide pela área total para achar a média, que é a coordenada .
Usando a mesma parametrização, temos:
Primeiro, integramos em relação a :
Simplificando:
Então, a integral fica:
Resolvendo essa integral, encontramos:

Resposta

O centro de massa da região no primeiro quadrante da elipse é dado por:

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