Calcule o centro de massa da região com densidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa de uma região retangular definida por e com uma densidade que varia conforme a função .
Matéria envolvida: Centro de massa em cálculo multivariável, que utiliza integrais duplas para determinar as coordenadas e do centro de massa.
O que precisamos: Calcular as integrais necessárias para encontrar a massa total da região e as integrais ponderadas pelas coordenadas e para determinar e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa para uma região contínua com densidade é dado por:
onde é a massa total da região:
Passo 3
Vamos calcular a massa total . A região é retangular com limites e . Portanto, a integral dupla para fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em :
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral de :
Passo 6
Calculando a massa total :
Passo 7
Agora, vamos calcular :
Passo 8
Resolvendo a integral interna em :
Portanto,
Passo 9
Resolvendo a integral usando integração por partes: