Calcule o centro de massa da região com densidade .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o centro de massa de uma região retangular definida por e com uma densidade que varia conforme a função .
Matéria envolvida: Centro de massa em cálculo multivariável, que utiliza integrais duplas para determinar as coordenadas e do centro de massa.
O que precisamos: Calcular as integrais necessárias para encontrar a massa total da região e as integrais ponderadas pelas coordenadas e para determinar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa para uma região contínua com densidade é dado por:
onde é a massa total da região:

Passo 3

Vamos calcular a massa total . A região é retangular com limites e . Portanto, a integral dupla para fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral de :

Passo 6

Calculando a massa total :

Passo 7

Agora, vamos calcular :

Passo 8

Resolvendo a integral interna em :
Portanto,

Passo 9

Resolvendo a integral usando integração por partes:
Seja então .
Seja então .
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliando de 0 a 2:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Passo 11

Simplificando a expressão:

Passo 12

Agora, vamos calcular :

Passo 13

Resolvendo a integral interna em :
Aqui, usamos integração por partes novamente:
Seja então .
Seja então .
Aplicando:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 14

Substituindo na expressão de :

Resposta

O centro de massa da região é .

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