Calcule a derivada direcional f(x, y)=4 x^2-5 x y^2, no ponto (2,-3) e na direção
u=(1, raiz3) partial fpartial u(2,-3)=60 raiz3-292

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas direcionais. A gente vai trabalhar com funções de duas variáveis, especificamente calculando a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor é basicamente a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, vamos precisar do gradiente da função partial fpartial x = partialpartial x (4x^2 - 5xy^2) = 8x - 5y^2 .
O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior subida da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a partial fpartial y = partialpartial y (4x^2 - 5xy^2) = -10xy e nabla f(x, y) = (8x - 5y^2, -10xy) . Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor direção |u| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2 . Normalizar um vetor significa ajustá-lo para que tenha comprimento 1, mantendo a mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional utiliza um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de uunitário = (12, raiz32) :
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário á:
á

Passo 4

Com o gradiente e o vetor direção normalizado, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
partial fpartial u = nabla f cdot uunitário á
Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto nabla f(2, -3) = (8(2) - 5(-3)^2, -10(2)(-3)) = (16 - 45, 60) = (-29, 60) :
partial fpartial u(2, -3) = (-29, 60) cdot (12, raiz32) = (-29) times 12 + 60 times raiz32 = -292 + 60raiz32
Agora, fazemos o produto escalar:
partial fpartial u(2, -3) = 60raiz3 - 292
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de partial fpartial u(2, -3) = 60raiz3 - 292 no ponto na direção de é:

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