Calcule a derivada direcional
, no ponto
e na direção
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas direcionais. A gente vai trabalhar com funções de duas variáveis, especificamente calculando a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor é basicamente a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, vamos precisar do gradiente da função
.
O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior subida da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente da função é:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Normalizar um vetor significa ajustá-lo para que tenha comprimento 1, mantendo a mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional utiliza um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário
:
Passo 4
Com o gradiente e o vetor direção normalizado, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Agora, fazemos o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é:
Exercícios relacionados
Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Calcule o centro de massa da região
com densidade
.
Seja
.
Mostre que para todo
.
Mostre que
Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de
são contínuas em
. É diferenciável em
? Resp: Sim é diferenciável em