Calcule a derivada direcional , no ponto e na direção

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas direcionais. A gente vai trabalhar com funções de duas variáveis, especificamente calculando a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor é basicamente a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, vamos precisar do gradiente da função .
O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior subida da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . Normalizar um vetor significa ajustá-lo para que tenha comprimento 1, mantendo a mesma direção. Isso é importante porque a derivada direcional utiliza um vetor unitário.
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de :
Agora, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento para obter o vetor unitário á:
á

Passo 4

Com o gradiente e o vetor direção normalizado, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
á
Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto :
Agora, fazemos o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

Exercícios relacionados

Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .
Calcule o centro de massa da região com densidade .
Seja .
Mostre que para todo .
Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de são contínuas em . É diferenciável em ? Resp: Sim é diferenciável em