Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da superfície do gráfico da função
sobre a região onde
e
variam de 0 a 1. Isso envolve cálculo de integração dupla para área de superfícies. Vamos precisar usar a fórmula que calcula a área de uma superfície definida por uma função
.
Passo 2
Para calcular a área da superfície
sobre uma região
, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas áreas da superfície acima da região
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E depois, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Mas, para facilitar a integração, podemos reescrever a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, vamos integrar sobre a região
:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então muitas vezes usamos métodos numéricos ou software de cálculo para obter o valor aproximado. Entretanto, para simplificar, podemos considerar que
, mas mesmo assim, a integral permanece complicada.
Resposta
A área de superfície do gráfico de
sobre a região
e
é dada pela integral dupla:
Para obter o valor numérico, é recomendado usar uma calculadora ou software de cálculo integral.
Exercícios relacionados
Calcule o centro de massa da região
com densidade
.
Calcule a derivada direcional
, no ponto
e na direção
Seja
.
Mostre que para todo
.
Mostre que