Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da superfície do gráfico da função sobre a região onde e variam de 0 a 1. Isso envolve cálculo de integração dupla para área de superfícies. Vamos precisar usar a fórmula que calcula a área de uma superfície definida por uma função .

Passo 2

Para calcular a área da superfície sobre uma região , usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas áreas da superfície acima da região .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da nossa função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Mas, para facilitar a integração, podemos reescrever a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, vamos integrar sobre a região :
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então muitas vezes usamos métodos numéricos ou software de cálculo para obter o valor aproximado. Entretanto, para simplificar, podemos considerar que , mas mesmo assim, a integral permanece complicada.

Resposta

A área de superfície do gráfico de sobre a região e é dada pela integral dupla:
Para obter o valor numérico, é recomendado usar uma calculadora ou software de cálculo integral.

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Calcule o centro de massa da região com densidade .
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Seja .
Mostre que para todo .