integral0^2 pi integral0^pi sin (x+y) d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral0^2 pi integral0^pi sin (x+y) , dx , dy. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e saber como lidar com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função sin(x + y) em relação a x, mantendo y constante. A integral de sin(x + y) em relação a x é:
integral sin(x + y) , dx = -cos(x + y) + C
Aqui, usamos a regra de integração de funções trigonométricas, onde a integral de sin(u) em relação a u é -cos(u) + C.

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração para x, que vão de 0 a pi:
-cos(pi + y) + cos(0 + y) = -cos(pi + y) + cos(y)
Sabemos que cos(pi + y) = -cos(y), então substituindo:
-(-cos(y)) + cos(y) = cos(y) + cos(y) = 2cos(y)

Passo 4

Agora, temos que integrar o resultado 2cos(y) em relação a y, com os limites de 0 a 2pi:
integral0^2pi 2cos(y) , dy = 2 integral0^2pi cos(y) , dy
A integral de cos(y) em relação a y é sin(y).

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
2 [ sin(y) ]0^2pi = 2 ( sin(2pi) - sin(0) )
Sabemos que sin(2pi) = 0 e sin(0) = 0, então:
2 (0 - 0) = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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