em que é a região do no primeiro quadrante delimitada pelas retas , e o círculo

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral dupla . A região está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas , e pelo círculo . Vamos usar coordenadas polares pra facilitar, porque a função fica mais simples dessa forma, já que .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações de limite para coordenadas polares. No primeiro quadrante, corresponde a e corresponde a . O círculo vira , já que .

Passo 3

Agora, a integral em coordenadas polares fica assim:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 5

Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:

Resposta

A integral vale .

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Calcule o centro de massa da região com densidade .
Determine a área de superfície do gráfico de sobre a região .