em que
é a região do no primeiro quadrante delimitada pelas retas
,
e o círculo
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral dupla
. A região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas
,
e pelo círculo
. Vamos usar coordenadas polares pra facilitar, porque a função
fica mais simples dessa forma, já que
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações de limite para coordenadas polares. No primeiro quadrante,
corresponde a
e
corresponde a
. O círculo
vira
, já que
.
Passo 3
Agora, a integral em coordenadas polares fica assim:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o centro de massa da região
com densidade
.
Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.