integral duplaE e^x^2+y^2 d y d x em que E é a região do no primeiro quadrante delimitada pelas retas y=0, y=x e o círculo x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral dupla . A região está no primeiro quadrante e é limitada pelas retas , e pelo círculo . Vamos usar coordenadas polares pra facilitar, porque a função fica mais simples dessa forma, já que .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações de limite para coordenadas polares. No primeiro quadrante, corresponde a e corresponde a . O círculo vira , já que .

Passo 3

Agora, a integral em coordenadas polares fica assim:
integral0^2 integral0^pi4 e^r^2 cdot r , dtheta , dr
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^pi4 e^r^2 cdot r , dtheta = e^r^2 cdot r cdot [theta]0^pi4 = e^r^2 cdot r cdot pi4 :

Passo 5

Agora, a integral fica:
pi4 integral0^2 e^r^2 cdot r , dr
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
pi4 cdot 12 integral0^4 e^u , du = pi8 [e^u]0^4 = pi8 (e^4 - 1)

Resposta

A integral vale .

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