Calcule o centro de massa: a) do sistema de partículas; b) do hemisfério abaixo de raio
; c) do cone cortado de raios
e
e de altura
; d) da calota esférica de raio
e altura
:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o centro de massa de uma calota esférica. Uma calota esférica é basicamente uma “fatia” de uma esfera, como se você cortasse a esfera com um plano. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar a posição média das partículas que compõem essa calota. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos colocar a origem no centro da esfera. A calota esférica está localizada acima do plano
, onde
é o raio da esfera e
é a altura da calota.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a coordenada
no eixo
. A fórmula para o centro de massa em uma direção
é:
Aqui,
representa um pequeno volume da calota.
Passo 4
Vamos parametrizar a calota usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um pequeno volume é dado por:
Como estamos lidando com apenas a superfície da esfera (calota esférica), o raio
é constante e igual a
. Portanto,
e simplificamos para coordenadas polares:
Passo 5
No entanto, como estamos interessados no volume da calota esférica, precisamos integrar em
de
até
. A altura
está relacionada ao ângulo
pela relação:
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, expressamos a coordenada
em termos de
:
Como
varia de
a
, e
vai de
a
, onde
.
Passo 7
Vamos agora calcular as integrais no numerador e no denominador da fórmula do centro de massa.
Integral do denominador (volume total da calota):
Integrando em
:
Integrando em
:
Integrando em
:
Substituindo
:
Passo 8
Integral do numerador (momento em
):
Simplificando:
Integrando em
:
Passo 9
Integrando em
:
Simplificando:
Substituindo
e
:
Portanto:
Passo 10
Agora, vamos calcular o centro de massa
:
Simplificando:
Resposta
O centro de massa da calota esférica de raio
e altura
está localizado a uma altura de: