Calcule o centro de massa: a) do sistema de partículas; b) do hemisfério abaixo de raio R; c) do cone cortado de raios R1 e R2 e de altura h; d) da calota esférica de raio R e altura h :
d)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o centro de massa de uma calota esférica. Uma calota esférica é basicamente uma “fatia” de uma esfera, como se você cortasse a esfera com um plano. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar a posição média das partículas que compõem essa calota. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos colocar a origem no centro da esfera. A calota esférica está localizada acima do plano , onde é o raio da esfera e é a altura da calota.

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular a coordenada barz = integral z , dVintegral dV no eixo . A fórmula para o centro de massa em uma direção é:
Aqui, representa um pequeno volume da calota.

Passo 4

Vamos parametrizar a calota usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um pequeno volume é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como estamos lidando com apenas a superfície da esfera (calota esférica), o raio dA = R^2 sintheta , dtheta , dphi é constante e igual a . Portanto, e simplificamos para coordenadas polares:

Passo 5

No entanto, como estamos interessados no volume da calota esférica, precisamos integrar em h = R(1 - costheta) de costheta = 1 - hR até . A altura está relacionada ao ângulo pela relação:
Vamos resolver para :

Passo 6

Agora, expressamos a coordenada z = r costheta em termos de :
Como varia de a , e vai de a , onde .

Passo 7

Vamos agora calcular as integrais no numerador e no denominador da fórmula do centro de massa.
Integral do denominador (volume total da calota):
V = integral dV = integral0^2pi integral0^theta0 integral0^R r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Integrando em V = integral0^2pi integral0^theta0 [ r^33 ]0^R sintheta , dtheta , dphi = R^33 integral0^2pi integral0^theta0 sintheta , dtheta , dphi :
V = R^33 integral0^2pi [-costheta ]0^theta0 dphi = R^33 integral0^2pi (-costheta0 + 1) dphi
Integrando em V = R^33 cdot 2pi (1 - costheta0) :
V = 2pi R^33 (1 - (1 - hR)) = 2pi R^33 cdot hR = 2pi R^2 h3
Integrando em :
Substituindo :

Passo 8

Integral do numerador (momento em integral z , dV = integral0^2pi integral0^theta0 integral0^R r costheta cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi ):
integral z , dV = integral0^2pi integral0^theta0 integral0^R r^3 costheta sintheta , dr , dtheta , dphi
Simplificando:
integral z , dV = integral0^2pi integral0^theta0 [ r^44 ]0^R costheta sintheta , dtheta , dphi = R^44 integral0^2pi integral0^theta0 costheta sintheta , dtheta , dphi
Integrando em :

Passo 9

Integrando em integral z , dV = R^44 integral0^2pi [ sin^2theta2 ]0^theta0 dphi = R^48 integral0^2pi (sin^2theta0 - 0) dphi = R^48 cdot 2pi sin^2theta0 :
integral z , dV = pi R^44 sin^2theta0
Simplificando:
sin^2theta0 = 1 - (1 - hR)^2 = 1 - (1 - 2hR + h^2R^2) = 2hR - h^2R^2
Substituindo integral z , dV = pi R^44 (2hR - h^2R^2) = pi R^44 cdot 2hR - h^2R^2 = pi R^2 (2hR - h^2)4 e :
Portanto:

Passo 10

Agora, vamos calcular o centro de massa barz = integral z , dVintegral dV = pi R^2 (2hR - h^2)42pi R^2 h3 = (2hR - h^2)/4(2h)/3 = 2hR - h^24 cdot 32h = (2hR - h^2) cdot 38h :
barz = 6hR - 3h^28h = 6R - 3h8 = 3R - 3h24 = 3(R - h2)4
Simplificando:

Resposta

O centro de massa da calota esférica de raio barz = 3(R - h2)4 e altura está localizado a uma altura de:

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