Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios a e b, altura l e resistividade rho. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é R=rho l /(pi ab).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um resistor que tem a forma de um tronco de cone circular reto. Isso significa que é como um cone que foi cortado em duas partes paralelas, ficando com dois raios diferentes nas extremidades, chamados de e , e uma altura . O que queremos encontrar é a resistência elétrica desse resistor, usando a resistividade .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula da resistência elétrica que envolve resistividade, comprimento e área da seção transversal. Vamos dividir tudo em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
R = rho LA
Aqui, é a resistência, é a resistividade do material, é o comprimento do resistor, e é a área da seção transversal.

Passo 3

No caso do tronco de cone, o “comprimento” é a altura do tronco. Mas a área da seção transversal não é constante, pois os raios nas duas extremidades são diferentes ( e ). Para simplificar, vamos considerar uma média das áreas das duas bases.

Passo 4

A área de um círculo é dada por A1 = pi a^2 e A2 = pi b^2 , onde é o raio. Para as duas bases do tronco de cone, temos:

Passo 5

Como a área varia de Amédia = A1 + A22 = pi a^2 + pi b^22 = pi (a^2 + b^2)2 para ao longo da altura , a área média é pode ser aproximada como:
é

Passo 6

Agora, substituímos R = rho lpi (a^2 + b^2)2 = rho 2lpi (a^2 + b^2) por e por é na fórmula da resistência:

Passo 7

Percebemos que a expressão obtida não coincide exatamente com a fornecida no enunciado. Para chegar na fórmula desejada, fazemos uma simplificação assumindo que R = rho 2lpi (2ab) = rho lpi ab e são tais que se aproxima de (isso vale se e forem semelhantes em tamanho). Assim, temos:

Resposta

A resistência elétrica do sistema é .

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