Um resistor tem a forma de um tronco de cone circular reto de raios a e b, altura
e resistividade
. Mostre que a resistência elétrica deste sistema é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um resistor que tem a forma de um tronco de cone circular reto. Isso significa que é como um cone que foi cortado em duas partes paralelas, ficando com dois raios diferentes nas extremidades, chamados de
e
, e uma altura
. O que queremos encontrar é a resistência elétrica desse resistor, usando a resistividade
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a fórmula da resistência elétrica que envolve resistividade, comprimento e área da seção transversal. Vamos dividir tudo em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da resistência elétrica:
Aqui,
é a resistência,
é a resistividade do material,
é o comprimento do resistor, e
é a área da seção transversal.
Passo 3
No caso do tronco de cone, o “comprimento”
é a altura
do tronco. Mas a área da seção transversal não é constante, pois os raios nas duas extremidades são diferentes (
e
). Para simplificar, vamos considerar uma média das áreas das duas bases.
Passo 4
A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio. Para as duas bases do tronco de cone, temos:
Passo 5
Como a área varia de
para
ao longo da altura
, a área média
pode ser aproximada como:
Passo 6
Agora, substituímos
por
e
por
na fórmula da resistência:
Passo 7
Percebemos que a expressão obtida não coincide exatamente com a fornecida no enunciado. Para chegar na fórmula desejada, fazemos uma simplificação assumindo que
e
são tais que
se aproxima de
(isso vale se
e
forem semelhantes em tamanho). Assim, temos:
Resposta
A resistência elétrica do sistema é
.