Calcule o centro de massa do sólido limitado pelos paraboloide e com a função densidade constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o centro de massa de um sólido que é limitado por dois paraboloides: e . A densidade desse sólido é constante, o que facilita um pouco as contas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o centro de massa. O centro de massa é um ponto que representa o “peso médio” do objeto. Como a densidade é constante, ele depende apenas da forma do sólido. Matematicamente, as coordenadas do centro de massa () são calculadas usando integrais:
Onde é a massa total do sólido, que como a densidade é constante, é proporcional ao volume .
Passo 3
Observando a simetria do sólido: os paraboloides são simétricos em relação aos eixos e . Isso significa que, para cada ponto , existe um ponto e . Por causa disso, as integrais de e sobre o volume vão dar zero:
Então, só precisamos calcular .
Passo 4
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido é simétrico em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica .
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. As duas superfícies se intersectam quando:
Em coordenadas cilíndricas, isso é , ou seja, .
Então, varia de 0 a 2, de 0 a , e vai de até .
Passo 6
Vamos calcular o volume :
Primeiro integramos em :
Então,
Calculando a integral em :
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral para :
Primeiro, integraremos em :
Explicando a teoria: estamos calculando a média ponderada das posições dentro do volume, multiplicando cada pelo volume infinitesimal e integrando sobre todo o sólido.