Calcule o centro de massa do sólido limitado pelos paraboloide y = x^2 + z^2 e y = 8 - x^2 - z^2 com a função densidade constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o centro de massa de um sólido que é limitado por dois paraboloides: e . A densidade desse sólido é constante, o que facilita um pouco as contas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o centro de massa. O centro de massa é um ponto que representa o “peso médio” do objeto. Como a densidade é constante, ele depende apenas da forma do sólido. Matematicamente, as coordenadas do centro de massa ( ) são calculadas usando integrais:
Onde é a massa total do sólido, que como a densidade é constante, é proporcional ao volume .

Passo 3

Observando a simetria do sólido: os paraboloides são simétricos em relação aos eixos e . Isso significa que, para cada ponto , existe um ponto e . Por causa disso, as integrais de e sobre o volume vão dar zero:
Então, só precisamos calcular .

Passo 4

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque o sólido é simétrico em torno do eixo . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume fica .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. As duas superfícies se intersectam quando:
Em coordenadas cilíndricas, isso é , ou seja, .
Então, varia de 0 a 2, de 0 a , e vai de até .

Passo 6

Vamos calcular o volume :
Primeiro integramos em :
Então,
Calculando a integral em :
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral para :
Primeiro, integraremos em :
Explicando a teoria: estamos calculando a média ponderada das posições dentro do volume, multiplicando cada pelo volume infinitesimal e integrando sobre todo o sólido.

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Então,

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral de :
Simplificando:
Calculando a integral em :
Então,

Resposta

O centro de massa do sólido é .

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