Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma de uma série cuja soma parcial é dada por , onde . Isso está relacionado ao assunto de progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de uma série geométrica e o que acontece quando o número de termos tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão, que aqui é . A soma parcial nos dá a soma dos primeiros termos dessa série.

Passo 3

A fórmula dada é . Isso representa a soma dos primeiros termos de uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão . Nossa missão é encontrar a soma total dessa série quando tende para o infinito.

Passo 4

Sabemos que para uma série geométrica infinita, a soma é dada por , onde é o primeiro termo e . No nosso caso, , então a fórmula fica .

Passo 5

Vamos analisar o limite de quando vai para o infinito. Olhando para , quando , o termo se aproxima de 0 à medida que cresce. Então, o limite de será:

Resposta

A soma da série infinita é .

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