Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma de uma série cuja soma parcial é dada por
, onde
. Isso está relacionado ao assunto de progressões geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de uma série geométrica e o que acontece quando o número de termos tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão, que aqui é
. A soma parcial
nos dá a soma dos primeiros
termos dessa série.
Passo 3
A fórmula dada é
. Isso representa a soma dos primeiros
termos de uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão
. Nossa missão é encontrar a soma total dessa série quando
tende para o infinito.
Passo 4
Sabemos que para uma série geométrica infinita, a soma
é dada por
, onde
é o primeiro termo e
. No nosso caso,
, então a fórmula fica
.
Passo 5
Vamos analisar o limite de
quando
vai para o infinito. Olhando para
, quando
, o termo
se aproxima de 0 à medida que
cresce. Então, o limite de
será:
Resposta
A soma da série infinita é
.
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, onde
é a região delimitada por
.
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e
com a função densidade constante.
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onde
é limitado pelo paraboloide
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.
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entre os planos
e
.