Calcule a integral , onde é a região delimitada por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é a região delimitada pela equação . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre regiões tridimensionais.

Passo 2

Vamos analisar a região . A equação representa uma elipsoide centrada no ponto . Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que centralize a elipsoide na origem.

Passo 3

Vamos definir novas variáveis:
Com isso, a equação da elipsoide fica:

Passo 4

Agora, para simplificar ainda mais, vamos normalizar as variáveis dividindo cada uma pelo comprimento dos semi-eixos:
Isso nos mostra que os semi-eixos da elipsoide têm comprimentos , e nas direções , e , respectivamente.

Passo 5

Para calcular a integral , vamos observar a simetria da região . A elipsoide é simétrica em relação ao eixo (que corresponde ao eixo original), mas nosso integrando é simplesmente .

Passo 6

Como a função é uma função ímpar em relação ao eixo e a região de integração é simétrica em torno desse eixo, a integral da função sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto , existe um ponto que anula o valor da integral.

Resposta

O valor da integral é igual a .

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