Calcule a integral integral triplaT x d V, onde T é a região delimitada por x^2+3(y-3)^2+(z-2)^2=9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla integral triplaT x , dV, onde T é a região delimitada pela equação x^2+3(y-3)^2+(z-2)^2=9. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre regiões tridimensionais.

Passo 2

Vamos analisar a região T. A equação x^2+3(y-3)^2+(z-2)^2=9 representa uma elipsoide centrada no ponto (0, 3, 2). Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que centralize a elipsoide na origem.

Passo 3

Vamos definir novas variáveis:
u = x, v = y - 3, w = z - 2
Com isso, a equação da elipsoide fica:
u^2 + 3v^2 + w^2 = 9

Passo 4

Agora, para simplificar ainda mais, vamos normalizar as variáveis dividindo cada uma pelo comprimento dos semi-eixos:
u^29 + v^23 + w^29 = 1
Isso nos mostra que os semi-eixos da elipsoide têm comprimentos a=3, b=raiz3 e c=3 nas direções u, v e w, respectivamente.

Passo 5

Para calcular a integral integral triplaT x , dV, vamos observar a simetria da região T. A elipsoide é simétrica em relação ao eixo u (que corresponde ao eixo x original), mas nosso integrando é simplesmente x.

Passo 6

Como a função x é uma função ímpar em relação ao eixo u e a região de integração é simétrica em torno desse eixo, a integral da função x sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto (u, v, w), existe um ponto (-u, v, w) que anula o valor da integral.

Resposta

O valor da integral integral triplaT x , dV é igual a 0.

Exercícios relacionados