Calcule a integral
, onde
é a região delimitada por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
, onde
é a região delimitada pela equação
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas sobre regiões tridimensionais.
Passo 2
Vamos analisar a região
. A equação
representa uma elipsoide centrada no ponto
. Para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de coordenadas que centralize a elipsoide na origem.
Passo 3
Vamos definir novas variáveis:
Com isso, a equação da elipsoide fica:
Passo 4
Agora, para simplificar ainda mais, vamos normalizar as variáveis dividindo cada uma pelo comprimento dos semi-eixos:
Isso nos mostra que os semi-eixos da elipsoide têm comprimentos
,
e
nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 5
Para calcular a integral
, vamos observar a simetria da região
. A elipsoide é simétrica em relação ao eixo
(que corresponde ao eixo
original), mas nosso integrando é simplesmente
.
Passo 6
Como a função
é uma função ímpar em relação ao eixo
e a região de integração é simétrica em torno desse eixo, a integral da função
sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto
, existe um ponto
que anula o valor da integral.
Resposta
O valor da integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o centro de massa do sólido limitado pelos paraboloide
e
com a função densidade constante.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira.
- A integral
representa o volume limitado pelo cone e pelo plano . - - A integral
representa o volume limitado pelo cone e pela esfera
Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
Calcule a integral
onde
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.