Calcule o centro de massa do tronco de cone que tem densidade constante, , é delimitado pela superfície de equação e está compreendido entre os planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o centro de massa de um tronco de cone com densidade constante, . O tronco é limitado pela superfície e está entre os planos e . Vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do objeto. A equação descreve um cone circular reto com seu vértice na origem. Como estamos considerando entre e , temos um tronco desse cone.

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas , e . Devido à simetria do cone em relação ao eixo , sabemos que e . Então, nosso foco será calcular .

Passo 4

A coordenada é dada por:
onde é a massa total do tronco. Como a densidade é constante ( ), podemos escrever .

Passo 5

Vamos calcular a massa total :
Precisamos encontrar a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas, já que o objeto tem simetria cilíndrica.

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, . A equação do cone se transforma em . Entre e , o raio varia de 1 a 2.

Passo 7

Vamos integrar de 0 a (já que ), de 0 a e de 1 a 2:

Passo 8

Resolvendo a integral interna em :
Em seguida, a integral em :
E finalmente, a integral em :

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral :

Passo 10

Resolvendo a integral interna em :
Integral em :
E a integral em :

Passo 11

Agora, podemos calcular :
Simplificando:

Resposta

O centro de massa do tronco de cone está localizado no ponto , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule o volume da região limitada abaixo do cone e acima do semicírculo e pelo plano . Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral (ilustre a região de integração)
Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se diverge, então . ( )
Seja onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação e abaixo da parábola de equação . Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.