Calcule o centro de massa do tronco de cone que tem densidade constante, , é delimitado pela superfície de equação e está compreendido entre os planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o centro de massa de um tronco de cone com densidade constante, . O tronco é limitado pela superfície e está entre os planos e . Vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do objeto. A equação descreve um cone circular reto com seu vértice na origem. Como estamos considerando entre e , temos um tronco desse cone.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas , e . Devido à simetria do cone em relação ao eixo , sabemos que e . Então, nosso foco será calcular .
Passo 4
A coordenada é dada por:
onde é a massa total do tronco. Como a densidade é constante (), podemos escrever .
Passo 5
Vamos calcular a massa total :
Precisamos encontrar a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas, já que o objeto tem simetria cilíndrica.
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, . A equação do cone se transforma em . Entre e , o raio varia de 1 a 2.
Passo 7
Vamos integrar de 0 a (já que ), de 0 a e de 1 a 2:
Passo 8
Resolvendo a integral interna em :
Em seguida, a integral em :
E finalmente, a integral em :
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral :
Passo 10
Resolvendo a integral interna em :
Integral em :
E a integral em :
Passo 11
Agora, podemos calcular :
Simplificando:
Resposta
O centro de massa do tronco de cone está localizado no ponto , ou aproximadamente .