Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso significa que temos que transformar a integral dada em coordenadas polares para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e a própria função para o sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, estamos integrando a função
sobre uma região no plano
. Para facilitar, vamos desenhar essa região.
Passo 3
Os limites de
vão de 0 a 3. Para cada
,
varia de
até
. Vamos entender isso:
- A linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. - A curva
é o semicírculo superior da circunferência , que tem raio .
Então, a região de integração está entre a reta
e o semicírculo, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 5
Precisamos determinar os novos limites de integração em
e
.
- A reta
em polar é . - O semicírculo
corresponde a . -
varia de 0 a 3, o que em polar significa que varia de 0 a 3.
Então,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
, mas como o raio máximo é
, o limite superior para
é
.
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Simplificamos o integrando já que
.
Passo 7
Primeiro, vamos resolver a integral interna em
:
Fazemos a substituição
, então
ou
.
Passo 8
Após a substituição:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 10
Integramos em
:
Resposta
Finalmente, a integral vale:
Exercícios relacionados
Seja
onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Calcule o centro de massa do tronco de cone que tem densidade constante,
, é delimitado pela superfície de equação
e está compreendido entre os planos
.
Calcule a massa do sólido
interior a superficie esférica
, compreendida entre o plano
e a superfície cônica
, se a densidade de massa em cada ponto
de W e diretamente proporcional a distância de
ao plano xy.
Calcule o limite.