Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso significa que temos que transformar a integral dada em coordenadas polares para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como mudar os limites de integração e a própria função para o sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, estamos integrando a função sobre uma região no plano . Para facilitar, vamos desenhar essa região.

Passo 3

Os limites de vão de 0 a 3. Para cada , varia de até . Vamos entender isso:
  • A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • A curva é o semicírculo superior da circunferência , que tem raio .
Então, a região de integração está entre a reta e o semicírculo, de a .

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área se transforma em .

Passo 5

Precisamos determinar os novos limites de integração em e .
  • A reta em polar é .
  • O semicírculo corresponde a .
  • varia de 0 a 3, o que em polar significa que varia de 0 a 3.
Então, varia de 0 a e varia de 0 a , mas como o raio máximo é , o limite superior para é .

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Simplificamos o integrando já que .

Passo 7

Primeiro, vamos resolver a integral interna em :
Fazemos a substituição , então ou .

Passo 8

Após a substituição:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 10

Integramos em :

Resposta

Finalmente, a integral vale:

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