Seja onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação e abaixo da parábola de equação . Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante. A região está acima da parábola e abaixo da parábola . Vamos precisar desenhar essa região e escrever a integral dupla como uma integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração (primeiro e depois ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas parábolas se interceptam para entender melhor os limites da região . Igualando e , temos:
á
Então, quando , . Portanto, as parábolas se cruzam no ponto .

Passo 3

Agora, vamos imaginar a região . No primeiro quadrante, a parábola se abre para a direita, enquanto é uma parábola que se abre para baixo. A região está entre essas duas curvas, desde até .

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla na ordem . Nesse caso, para cada valor de entre 0 e 1, varia de (a parte de baixo da região) até (a parte de cima da região). Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos considerar a ordem . Para cada valor de entre 0 e 1, varia de (a parte esquerda da região) até (resolvendo para ). Então, a integral fica:

Resposta

A integral dupla como integral iterada nas duas ordens de integração é:
e

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