Seja
onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla
sobre uma região
no primeiro quadrante. A região
está acima da parábola
e abaixo da parábola
. Vamos precisar desenhar essa região e escrever a integral dupla como uma integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração (primeiro
e depois
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas parábolas se interceptam para entender melhor os limites da região
. Igualando
e
, temos:
Então, quando
,
. Portanto, as parábolas se cruzam no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos imaginar a região
. No primeiro quadrante, a parábola
se abre para a direita, enquanto
é uma parábola que se abre para baixo. A região
está entre essas duas curvas, desde
até
.
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla na ordem
. Nesse caso, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
(a parte de baixo da região) até
(a parte de cima da região). Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos considerar a ordem
. Para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
(a parte esquerda da região) até
(resolvendo
para
). Então, a integral fica:
Resposta
A integral dupla como integral iterada nas duas ordens de integração é:
e
Exercícios relacionados
Calcule o centro de massa do tronco de cone que tem densidade constante,
, é delimitado pela superfície de equação
e está compreendido entre os planos
.
Calcule o volume da região limitada abaixo do cone
e acima do semicírculo
e pelo plano
. Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral (ilustre a região de integração)
Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares.
Calcule a massa do sólido
interior a superficie esférica
, compreendida entre o plano
e a superfície cônica
, se a densidade de massa em cada ponto
de W e diretamente proporcional a distância de
ao plano xy.