Seja integral dupla f(x, y) dxdy onde a região R de integração está situada no 10 . quadrante, acima da parábola de equação y^2=x e abaixo da parábola de equação y=2-x^2. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante. A região está acima da parábola e abaixo da parábola . Vamos precisar desenhar essa região e escrever a integral dupla como uma integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração (primeiro e depois ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas parábolas se interceptam para entender melhor os limites da região y^2 = 2 - y^2 Rightarrow 2y^2 = 2 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = 1 (já que estamos no primeiro quadrante) . Igualando e , temos:
á
Então, quando , . Portanto, as parábolas se cruzam no ponto .

Passo 3

Agora, vamos imaginar a região . No primeiro quadrante, a parábola se abre para a direita, enquanto é uma parábola que se abre para baixo. A região está entre essas duas curvas, desde até .

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla na ordem integralx=0^1 integraly=raizx^2 - x^2 f(x, y) , dy , dx . Nesse caso, para cada valor de entre 0 e 1, varia de (a parte de baixo da região) até (a parte de cima da região). Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos considerar a ordem integraly=0^1 integralx=y^2^raiz2 - y f(x, y) , dx , dy . Para cada valor de entre 0 e 1, varia de (a parte esquerda da região) até (resolvendo para ). Então, a integral fica:

Resposta

A integral dupla como integral iterada nas duas ordens de integração é:
integral0^1 integralraizx^2 - x^2 f(x, y) , dy , dx
e
integral0^1 integraly^2^raiz2 - y f(x, y) , dx , dy

Exercícios relacionados