Calcule o volume da região limitada abaixo do cone e acima do semicírculo e pelo plano . Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral (ilustre a região de integração)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume da região que está abaixo do cone , acima do semicírculo no plano , usando coordenadas cilíndricas. Basicamente, a gente vai integrar nessa região pra achar o volume. Pra isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para cilíndricas e montar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nessa mudança, usamos como a distância radial no plano , como o ângulo em relação ao eixo , e permanece o mesmo. A relação entre as coordenadas é:
Isso facilita pra nossa integral, já que o cone e o semicírculo têm simetria circular.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação do cone em coordenadas cilíndricas. Substituindo por , temos:
E o plano continua igual. Então, a altura varia de 0 até .

Passo 4

Vamos determinar os limites para e . Como estamos lidando com um semicírculo onde , isso corresponde a indo de 0 até . O valor de vai de 0 até quando o cone intercepta o plano .
Quando :
Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Montando a integral em coordenadas cilíndricas, lembrando que o elemento de volume é , mas como estamos integrando sobre primeiro, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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