Calcule o centro e o raio da circunferência definida por
r (x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=100 2 x-2 y-z+9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência definida pelo sistema de equações dado. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo da interseção entre uma esfera e um plano no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de equação da esfera e do plano, além de entender como encontrar a interseção entre eles para determinar o centro e o tamanho da circunferência resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da esfera e do plano no sistema:
A equação da esfera é:
(x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 100
Aqui, o centro da esfera é em (3, -2, 1) e o raio é raiz100 = 10.
A equação do plano é:
2x - 2y - z + 9 = 0

Passo 3

Para encontrar a interseção entre a esfera e o plano, que é uma circunferência, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Encontrar a distância do centro da esfera ao plano. Isso nos ajuda a determinar se a esfera e o plano de fato se intersectam e a calcular o raio da circunferência resultante.
  2. Encontrar a projeção do centro da esfera sobre o plano. Essa projeção será o centro da circunferência.

Passo 4

Vamos calcular a distância do centro da esfera (3, -2, 1) ao plano 2x - 2y - z + 9 = 0.
A fórmula para a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Aplicando os valores:
A = 2, B = -2, C = -1, D = 9 x0 = 3, y0 = -2, z0 = 1
Então:
D = |2 cdot 3 + (-2) cdot (-2) + (-1) cdot 1 + 9|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2 D = |6 + 4 - 1 + 9|raiz4 + 4 + 1 D = |18|raiz9 D = 183 D = 6

Passo 5

Agora que temos a distância do centro da esfera ao plano ( D = 6), podemos encontrar o raio da circunferência de interseção. A relação entre o raio da esfera ( R), a distância ( D) e o raio da circunferência ( r) é dada pela fórmula do triângulo retângulo:
R^2 = D^2 + r^2
Sabemos que R = 10 e D = 6, então:
10^2 = 6^2 + r^2 100 = 36 + r^2 r^2 = 100 - 36 r^2 = 64 r = raiz64 r = 8

Passo 6

Agora, vamos encontrar a projeção do centro da esfera (3, -2, 1) sobre o plano 2x - 2y - z + 9 = 0. Essa projeção será o centro da circunferência que estamos procurando.
A fórmula para a projeção P de um ponto (x0, y0, z0) sobre o plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
P = ( x0 - A cdot A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2, y0 - B cdot A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2, z0 - C cdot A x0 + B y0 + C z0 + DA^2 + B^2 + C^2 )
Já calculamos a distância anteriormente, que é a fração dentro da fórmula. Vamos calcular cada componente:
Px = 3 - 2 cdot 2 cdot 3 - 2 cdot (-2) - 1 cdot 1 + 92^2 + (-2)^2 + (-1)^2 Px = 3 - 2 cdot 6 + 4 - 1 + 94 + 4 + 1 Px = 3 - 2 cdot 189 Px = 3 - 2 cdot 2 Px = 3 - 4 Px = -1
Py = -2 - (-2) cdot 189 Py = -2 + 2 cdot 2 Py = -2 + 4 Py = 2
Pz = 1 - (-1) cdot 189 Pz = 1 + 2 Pz = 3
Então, a projeção P é (-1, 2, 3).

Resposta

O centro da circunferência é (-1,, 2,, 3) e o raio é 8 unidades.

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