Calcule o centro e o raio da circunferência definida por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência definida pelo sistema de equações dado. Isso envolve geometria analítica, especificamente o estudo da interseção entre uma esfera e um plano no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas de equação da esfera e do plano, além de entender como encontrar a interseção entre eles para determinar o centro e o tamanho da circunferência resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação da esfera e do plano no sistema:
A equação da esfera é:
Aqui, o centro da esfera é em
e o raio é
.
A equação do plano é:
Passo 3
Para encontrar a interseção entre a esfera e o plano, que é uma circunferência, vamos seguir os seguintes passos:
-
Encontrar a distância do centro da esfera ao plano. Isso nos ajuda a determinar se a esfera e o plano de fato se intersectam e a calcular o raio da circunferência resultante.
-
Encontrar a projeção do centro da esfera sobre o plano. Essa projeção será o centro da circunferência.
Passo 4
Vamos calcular a distância do centro da esfera
ao plano
.
A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Aplicando os valores:
Então:
Passo 5
Agora que temos a distância do centro da esfera ao plano (
), podemos encontrar o raio da circunferência de interseção. A relação entre o raio da esfera (
), a distância (
) e o raio da circunferência (
) é dada pela fórmula do triângulo retângulo:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a projeção do centro da esfera
sobre o plano
. Essa projeção será o centro da circunferência que estamos procurando.
A fórmula para a projeção
de um ponto
sobre o plano
é:
Já calculamos a distância anteriormente, que é a fração dentro da fórmula. Vamos calcular cada componente:
Então, a projeção
é
.
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio é
unidades.