Sejam L1 e L2 retas reversas, Pi o plano que contém L1 e é paralelo a L2, Pi1 o plano que passa por L1 e é ortogonal a Pi, e o plano Pi2 que contém L2 e é ortogonal ao plano Pi.
Encontre equações cartesianas para os planos Pi, Pi1 e Pi2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas que não se cruzam nem são paralelas, chamadas de retas reversas, e . Também temos três planos:
  • : contém a reta e é paralelo à reta .
  • : passa por e é perpendicular a .
  • : contém e é perpendicular a .
Nosso objetivo é encontrar as equações cartesianas desses planos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de paralelismo e perpendicularidade entre planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a equação do plano L1: x = x0 + a1 t y = y0 + b1 t z = z0 + c1 t .
Como nPi = d1 times d2 contém a reta , precisamos de um ponto e um vetor diretor de . Suponhamos que seja dada por:
onde é um ponto em e é o vetor diretor de .
Como é paralelo a , o vetor diretor de , , também está contido em . Portanto, para determinar o vetor normal do plano , vamos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 3

Agora, com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto em , podemos escrever a equação geral do plano :
Essa é a equação cartesiana do plano .

Passo 4

Vamos para o plano A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , que passa por e é perpendicular a .
Como é perpendicular a , seus vetores normais são paralelos. Ou seja, o vetor normal de é igual ao vetor normal de , .
Usando o mesmo ponto de , a equação de será:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a equação do plano L2: x = x1 + a2 t y = y1 + b2 t z = z1 + c2 t , que contém a reta A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0 e é perpendicular a .
Novamente, como é perpendicular a , seu vetor normal é o mesmo de , .
Supondo que seja dada por:
onde é um ponto em e é o vetor diretor de .
Usamos o ponto para escrever a equação de :

Resposta

As equações cartesianas dos planos são:
Pi: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Pi1: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Pi2: A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
Onde , e está em , enquanto está em .

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