Sejam e retas reversas, o plano que contém e é paralelo a o plano que passa por e é ortogonal a , e o plano que contém e é ortogonal ao plano .
Encontre equações cartesianas para os planos e ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas que não se cruzam nem são paralelas, chamadas de retas reversas, e . Também temos três planos:
: contém a reta e é paralelo à reta .
: passa por e é perpendicular a .
: contém e é perpendicular a .
Nosso objetivo é encontrar as equações cartesianas desses planos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e condições de paralelismo e perpendicularidade entre planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a equação do plano .
Como contém a reta , precisamos de um ponto e um vetor diretor de . Suponhamos que seja dada por:
onde é um ponto em e é o vetor diretor de .
Como é paralelo a , o vetor diretor de , , também está contido em . Portanto, para determinar o vetor normal do plano , vamos calcular o produto vetorial entre e :
Passo 3
Agora, com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto em , podemos escrever a equação geral do plano :
Essa é a equação cartesiana do plano .
Passo 4
Vamos para o plano A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , que passa por e é perpendicular a .
Como é perpendicular a , seus vetores normais são paralelos. Ou seja, o vetor normal de é igual ao vetor normal de , .
Usando o mesmo ponto de , a equação de será:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a equação do plano L2: x = x1 + a2 t y = y1 + b2 t z = z1 + c2 t , que contém a reta A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0 e é perpendicular a .
Novamente, como é perpendicular a , seu vetor normal é o mesmo de , .