Verifique se: O conjunto de todas as matrizes n times n com traço igual a zero (i.é., soma dos elementos da diagonal é igual a zero) é subespaço de Mn times n(R)

Passo 1

Então, temos um conjunto de todas as matrizes quadradas de tamanho n times n com traço igual a zero. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Queremos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de Mn times n(R), que é o conjunto de todas as matrizes n times n com números reais.
Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa:
  1. Conter a matriz zero.
  2. Ser fechado sob adição, ou seja, se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também precisa estar no conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz zero está no nosso conjunto. A matriz zero tem todos os elementos iguais a zero, então o traço também será zero. Isso satisfaz a primeira condição de ser um subespaço.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Pegamos duas matrizes quaisquer A e B no nosso conjunto. Isso significa que tr(A) = 0 e tr(B) = 0. Quando somamos A + B, o traço dessa soma é tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 + 0 = 0. Então, A + B também está no conjunto.

Passo 4

Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos uma matriz A no conjunto e um número real c. O traço de cA é tr(cA) = c cdot tr(A) = c cdot 0 = 0. Portanto, cA também está no conjunto.

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é de fato um subespaço de Mn times n(R).

Exercícios relacionados