Verifique se: O conjunto de todas as matrizes
com traço igual a zero (i.é., soma dos elementos da diagonal é igual a zero) é subespaço de
Passo 1
Então, temos um conjunto de todas as matrizes quadradas de tamanho
com traço igual a zero. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Queremos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com números reais.
Para isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa:
- Conter a matriz zero.
- Ser fechado sob adição, ou seja, se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também precisa estar no conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz zero está no nosso conjunto. A matriz zero tem todos os elementos iguais a zero, então o traço também será zero. Isso satisfaz a primeira condição de ser um subespaço.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Pegamos duas matrizes quaisquer
e
no nosso conjunto. Isso significa que
e
. Quando somamos
, o traço dessa soma é
. Então,
também está no conjunto.
Passo 4
Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Pegamos uma matriz
no conjunto e um número real
. O traço de
é
. Portanto,
também está no conjunto.
Resposta
Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele é de fato um subespaço de
.