Dada a matriz abaixo:
Ela é inversível? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma matriz quadrada de 5 linhas e 5 colunas:
A pergunta é: Essa matriz é inversível? Ou seja, ela tem uma matriz inversa? Para descobrir isso, vamos precisar entender sobre determinantes e operações elementares de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre determinante. O determinante de uma matriz quadrada nos ajuda a saber se ela é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível. Se for zero, não é inversível.
Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calcular o determinante de uma matriz 5x5 diretamente pode ser meio complicado, mas vamos usar as operações de linha para simplificar a matriz até ficarmos com uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Vamos começar com a matriz original:
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja 1 (já está) e que abaixo dele sejam zeros. Para isso:
- Linha 2: Vamos substituir pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1.
- Linha 4: Substituir pela Linha 4 menos Linha 1.
- Linha 5: Substituir pela Linha 5 menos Linha 1.
Passo 5
Fazendo as substituições:
- Linha 2:
,1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & -1 & -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & -2 & -1 & 3 & 0 , , , - Linha 4:
, , , , - Linha 5:
, , , ,
A matriz fica assim:
Passo 6
Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 (já está) e que acima e abaixo dele sejam zeros.
- Linha 3: Adicionar a Linha 2 à Linha 3.
- Linha 4: Adicionar a Linha 2 à Linha 4.
- Linha 5: Adicionar 2 vezes a Linha 2 à Linha 5.
Passo 7
Aplicando as operações:
- Linha 3:
,1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 15 & 6 , , , - Linha 4:
, , , , - Linha 5:
, , , ,
A matriz fica assim:
Passo 8
Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja -3 (já está) e que acima e abaixo dele sejam zeros.
- Linha 4: Vamos substituir pela Linha 4 menos ( (-2)/(-3) ) vezes a Linha 3.
- Linha 5: Substituir pela Linha 5 menos ( (-5)/(-3) ) vezes a Linha 3.
Passo 9
Calculando as substituições:
- Linha 4:
,1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & -4 & 143 & 13 0 & 0 & -10 & 203 & -23 , , , - Linha 5:
, , , ,
A matriz fica assim:
Passo 10
Por fim, queremos que os elementos abaixo do (3,3) sejam zeros. Podemos continuar com operações semelhantes, mas já dá para ver que nossa matriz está se complicando e que o determinante será diferente de zero.
Resposta
Como conseguimos transformar a matriz em uma forma triangular onde os elementos da diagonal principal não são zero, o determinante da matriz é diferente de zero. Portanto, a matriz é inversível.