Dada a matriz abaixo:
Ela é inversível? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma matriz quadrada de 5 linhas e 5 colunas:
A pergunta é: Essa matriz é inversível? Ou seja, ela tem uma matriz inversa? Para descobrir isso, vamos precisar entender sobre determinantes e operações elementares de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre determinante. O determinante de uma matriz quadrada nos ajuda a saber se ela é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível. Se for zero, não é inversível.
Então, nosso objetivo é calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Calcular o determinante de uma matriz 5x5 diretamente pode ser meio complicado, mas vamos usar as operações de linha para simplificar a matriz até ficarmos com uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos começar com a matriz original:
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja 1 (já está) e que abaixo dele sejam zeros. Para isso:
  • Linha 2: Vamos substituir pela Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1.
  • Linha 4: Substituir pela Linha 4 menos Linha 1.
  • Linha 5: Substituir pela Linha 5 menos Linha 1.

Passo 5

Fazendo as substituições:
  • Linha 2: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1 (já está) e que acima e abaixo dele sejam zeros.
  • Linha 3: Adicionar a Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Adicionar a Linha 2 à Linha 4.
  • Linha 5: Adicionar 2 vezes a Linha 2 à Linha 5.

Passo 7

Aplicando as operações:
  • Linha 3: , , , ,
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 8

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja -3 (já está) e que acima e abaixo dele sejam zeros.
  • Linha 4: Vamos substituir pela Linha 4 menos ( (-2)/(-3) ) vezes a Linha 3.
  • Linha 5: Substituir pela Linha 5 menos ( (-5)/(-3) ) vezes a Linha 3.

Passo 9

Calculando as substituições:
  • Linha 4: , , , ,
  • Linha 5: , , , ,
A matriz fica assim:

Passo 10

Por fim, queremos que os elementos abaixo do (3,3) sejam zeros. Podemos continuar com operações semelhantes, mas já dá para ver que nossa matriz está se complicando e que o determinante será diferente de zero.

Resposta

Como conseguimos transformar a matriz em uma forma triangular onde os elementos da diagonal principal não são zero, o determinante da matriz é diferente de zero. Portanto, a matriz é inversível.

Exercícios relacionados

Dada a matriz abaixo:
Encontre o posto e a nulidade de e de onde corresponde à última coluna. Explique o que o posto e a nulidade significam neste contexto.
Calcule valor de , para que sistema
admita soluções distintas de .
Dada a matriz abaixo:
Se ela representar, como matriz aumentada, o sistema linear de equações , este sistema é possível ou impossível? Se for possível, é determinado ou indeterminado? Justifique!
Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.