Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes: e o quadrado limitado pelas retas e , percorrido no sentido positivo.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva , que é um quadrado limitado pelas retas e no plano , percorrido no sentido positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial , ou seja, . O rotacional de um campo vetorial é dado pela seguinte matriz determinante:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo :
Portanto:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Onde é uma superfície limitada pela curva e é o vetor normal à superfície.
No nosso caso, a curva está no plano e é um quadrado com vértices em . Podemos escolher como a própria área do quadrado no plano . O vetor normal será então , já que a superfície está no plano .
Passo 4
Com a escolha da superfície no plano , temos e . Vamos calcular o produto escalar :
Logo, a integral de superfície fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre o quadrado limitado por e :