Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes: F(x, y, z) = (y^2 + z^2, x^2 + y^2, x^2 + y^2), para todo (x, y, z) em R^3 e C o quadrado limitado pelas retas x = +- 1 e y = +- 1 em z = 0, percorrido no sentido positivo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva , que é um quadrado limitado pelas retas e no plano , percorrido no sentido positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o rotacional do campo vetorial , ou seja, . O rotacional de um campo vetorial é dado pela seguinte matriz determinante:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo :
Portanto:

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Onde é uma superfície limitada pela curva e é o vetor normal à superfície.
No nosso caso, a curva está no plano e é um quadrado com vértices em . Podemos escolher como a própria área do quadrado no plano . O vetor normal será então , já que a superfície está no plano .

Passo 4

Com a escolha da superfície no plano , temos e . Vamos calcular o produto escalar :
Logo, a integral de superfície fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre o quadrado limitado por e :
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:

Resposta

A circulação do campo ao longo da curva é .

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