Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes: F(x, y, z) = (x^2, 2x, z^2), para todo (x, y, z) em R^3 e C a elipse 4x^2 + y^2 = 4(z = 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva , que é uma elipse definida pela equação no plano . Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta a circulação de um campo vetorial ao fluxo do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. Vamos precisar entender como calcular o rotacional de e integrar isso sobre a superfície escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva é a integral de linha . Mas, usando o Teorema de Stokes, podemos transformar essa integral de linha em uma integral de superfície. Ou seja:
Aqui, é uma superfície cuja borda é , é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional para é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,

Passo 4

Agora que temos o rotacional , vamos escolher uma superfície para aplicar o Teorema de Stokes. Como está no plano , vamos escolher esse plano como nossa superfície . A normal a essa superfície é .
A integral de superfície fica então:

Passo 5

Precisamos calcular a área da elipse . Vamos reescrever a equação dividindo todos os termos por 4:
Essa é a equação padrão de uma elipse onde o semi-eixo e . A área de uma elipse é dada por:

Passo 6

Agora, substituímos a área na integral:

Resposta

A circulação do campo ao longo da curva é .

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