Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes:
e
a elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, que é uma elipse definida pela equação
no plano
. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta a circulação de um campo vetorial ao fluxo do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem
como fronteira. Vamos precisar entender como calcular o rotacional de
e integrar isso sobre a superfície escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é a integral de linha
. Mas, usando o Teorema de Stokes, podemos transformar essa integral de linha em uma integral de superfície. Ou seja:
Aqui,
é uma superfície cuja borda é
,
é o rotacional de
, e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
para
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 4
Agora que temos o rotacional
, vamos escolher uma superfície
para aplicar o Teorema de Stokes. Como
está no plano
, vamos escolher esse plano como nossa superfície
. A normal a essa superfície é
.
A integral de superfície fica então:
Passo 5
Precisamos calcular a área da elipse
. Vamos reescrever a equação dividindo todos os termos por 4:
Essa é a equação padrão de uma elipse onde o semi-eixo
e
. A área
de uma elipse é dada por:
Passo 6
Agora, substituímos a área na integral:
Resposta
A circulação do campo ao longo da curva
é
.