Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes:
e
a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que é uma circunferência definida por
no plano
. O objetivo é calcular a circulação desse campo ao longo dessa curva usando o Teorema de Stokes. Isso envolve Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com integrais de linha e a rotacional do campo vetorial.
Passo 2
O Teorema de Stokes é a chave aqui. Ele diz que a circulação de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral da rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como borda. Matematicamente, isso fica:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a rotacional de
, que é
. Fazendo as derivadas parciais:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma superfície
que seja fácil de trabalhar e que tenha
como borda. Como
está no plano
e é uma circunferência de raio 3, a gente pode escolher
como o disco
no plano
. O vetor normal
para essa superfície é simplesmente
, já que está no plano
.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Isso significa que estamos calculando a área do disco
. A área de um círculo de raio 3 é:
Resposta
A circulação do campo
ao longo da curva
é
.