Calcule a circulação do campo ao longo da curva dados, empregando o teorema de Stokes: F(x, y, z) = (2y, 3x, -z^2), para todo (x, y, z) em R^3 e C a circunferência x^2 + y^2 = 9 + (z = 0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um campo vetorial e uma curva que é uma circunferência definida por no plano . O objetivo é calcular a circulação desse campo ao longo dessa curva usando o Teorema de Stokes. Isso envolve Cálculo Vetorial, especificamente trabalhando com integrais de linha e a rotacional do campo vetorial.

Passo 2

O Teorema de Stokes é a chave aqui. Ele diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral da rotacional de sobre uma superfície que tem como borda. Matematicamente, isso fica:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a rotacional de , que é . Fazendo as derivadas parciais:
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora, vamos escolher uma superfície que seja fácil de trabalhar e que tenha como borda. Como está no plano e é uma circunferência de raio 3, a gente pode escolher como o disco no plano . O vetor normal para essa superfície é simplesmente , já que está no plano .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Stokes:
Isso significa que estamos calculando a área do disco . A área de um círculo de raio 3 é:
Á

Resposta

A circulação do campo ao longo da curva é .

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