Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em tomo do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que resulta ao girar uma região em torno do eixo
. A região é definida por todos os pares
onde
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Essa é a equação de uma hipérbole. Como estamos considerando apenas
, vamos focar na parte superior da hipérbole.
Passo 3
Queremos encontrar
em função de
para usar no método dos discos. Vamos rearranjar a equação:
Passo 4
O método dos discos nos diz que o volume
é dado por:
Onde
é a função que descreve a borda da região que está girando. No nosso caso,
.
Passo 5
Vamos então montar a integral para calcular o volume:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 1 a 2:
Passo 7
Simplificando os termos:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
.