Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em tomo do eixo x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que y >= 0.1, 1 <= x <= 2 e x^2 - y^2 ≈ 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que resulta ao girar uma região em torno do eixo . A região é definida por todos os pares onde , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é a equação de uma hipérbole. Como estamos considerando apenas , vamos focar na parte superior da hipérbole.

Passo 3

Queremos encontrar em função de para usar no método dos discos. Vamos rearranjar a equação:

Passo 4

O método dos discos nos diz que o volume é dado por:
Onde é a função que descreve a borda da região que está girando. No nosso caso, .

Passo 5

Vamos então montar a integral para calcular o volume:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 1 a 2:

Passo 7

Simplificando os termos:
Então:

Resposta

O volume do sólido é .

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