Calcule o fluxo do rotacional através da superfície dada: F(x, y, z)=(3 y, 5-2 x, z^2-2), forall(x, y, z) in R^3 e S parametrizada por g(phi, theta)=(raiz3 sen(phi) cos (theta), raiz3 sen(phi) sen(theta), raiz3 cos (phi)), 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial g(phi, theta) = ( raiz3 sin(phi) cos(theta), raiz3 sin(phi) sin(theta), raiz3 cos(phi) ) através da superfície parametrizada por:
onde e .
Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, especificamente com o conceito de fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a superfície . A parametrização dada descreve uma esfera de raio , mas como vai de a , estamos lidando apenas com a “meia-esfera” superior. A fronteira dessa superfície é o círculo no plano , que é o equador da esfera.

Passo 3

Segundo o Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr através de é igual à integral de linha de ao longo da borda de . Matematicamente, isso é:
Então, ao invés de calcular o rotacional e depois o fluxo, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de .

Passo 4

Vamos parametrizar a curva de fronteira r(theta) = (raiz3 cos(theta), raiz3 sin(theta), 0), 0 <= theta < 2pi . Como é um círculo no plano drdtheta = (-raiz3 sin(theta), raiz3 cos(theta), 0) com raio , podemos usar:
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, substituímos F(r(theta)) = (3y, 5 - 2x, z^2 - 2) = (3 raiz3 sin(theta), 5 - 2 raiz3 cos(theta), -2) no campo :
Porque .

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot drdtheta = [3 raiz3 sin(theta)] cdot [-raiz3 sin(theta)] + [5 - 2 raiz3 cos(theta)] cdot [raiz3 cos(theta)] + (-2) cdot 0 :
= -9 sin^2(theta) + 5 raiz3 cos(theta) - 6 cos^2(theta)
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos isso de ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -9 sin^2(theta) + 5 raiz3 cos(theta) - 6 cos^2(theta) ) dtheta a :
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 8

Primeiro, sabemos que:
integral0^2pi sin^2(theta) dtheta = pi e integral0^2pi cos^2(theta) dtheta = pi
Além disso,
integral0^2pi cos(theta) dtheta = 0

Passo 9

Aplicando esses resultados:
ointpartial S F cdot dr = -9 pi + 0 - 6 pi = -15 pi

Resposta

O fluxo do rotacional de através da superfície é .

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