Calcule o fluxo do rotacional através da superfície dada:
e
parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos pediu para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
através da superfície
parametrizada por:
onde
e
.
Estamos lidando com cálculo vetorial aqui, especificamente com o conceito de fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da fronteira dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a superfície
. A parametrização dada descreve uma esfera de raio
, mas como
vai de
a
, estamos lidando apenas com a “meia-esfera” superior. A fronteira dessa superfície é o círculo no plano
, que é o equador da esfera.
Passo 3
Segundo o Teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de
através de
é igual à integral de linha de
ao longo da borda de
. Matematicamente, isso é:
Então, ao invés de calcular o rotacional e depois o fluxo, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva de fronteira
. Como é um círculo no plano
com raio
, podemos usar:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, substituímos
no campo
:
Porque
.
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos isso de
a
:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 8
Primeiro, sabemos que:
Além disso,
Passo 9
Aplicando esses resultados:
Resposta
O fluxo do rotacional de
através da superfície
é
.