Calcule as derivadas de ordem 2020, 2021, 2022 e 2023 aplicadas em 0 da função
. sugestão, calcule os coeficientes da série de Maclaurin de
de
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular as derivadas de ordem 2020, 2021, 2022 e 2023 da função
avaliadas em 0. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em potências de
em torno de 0. Precisamos encontrar os coeficientes das potências
,
,
e
nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função
expandida em torno de 0:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em 0. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para as potências específicas mencionadas.
Passo 3
Vamos expandir a função
em série de Maclaurin. Primeiro, reescrevemos a função de uma forma que facilite a expansão:
Sabemos que a série de uma função do tipo
é:
Substituindo
, temos:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora, a série de Maclaurin de
está expressa como:
Isso significa que os coeficientes das potências de
na expansão são:
Portanto, a
-ésima derivada de
avaliada em 0 é:
Passo 5
Vamos aplicar isso aos expoentes solicitados:
-
Para
: Comonão é inteiro, . -
Para
: Aqui,é inteiro. Então: -
Para
: não é inteiro, então . -
Para
: Novamente,não é inteiro, então .
Resposta
As derivadas solicitadas avaliadas em 0 são: