Calcule as derivadas de ordem 2020, 2021, 2022 e 2023 aplicadas em 0 da função f(x) = x / (1 + x^4). sugestão, calcule os coeficientes da série de Maclaurin de f de x^2020, x^2021, x^2022, x^2023.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular as derivadas de ordem 2020, 2021, 2022 e 2023 da função avaliadas em 0. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em potências de em torno de 0. Precisamos encontrar os coeficientes das potências , , e nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função expandida em torno de 0:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em 0. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes para as potências específicas mencionadas.

Passo 3

Vamos expandir a função em série de Maclaurin. Primeiro, reescrevemos a função de uma forma que facilite a expansão:
Sabemos que a série de uma função do tipo é:
Substituindo , temos:
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, a série de Maclaurin de está expressa como:
Isso significa que os coeficientes das potências de na expansão são:
á
Portanto, a -ésima derivada de avaliada em 0 é:
á

Passo 5

Vamos aplicar isso aos expoentes solicitados:
  1. Para :
    Como não é inteiro, .
  2. Para :
    Aqui, é inteiro. Então:
  3. Para :
    não é inteiro, então .
  4. Para :
    Novamente, não é inteiro, então .

Resposta

As derivadas solicitadas avaliadas em 0 são:

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