Sabe-se que a primitiva da função f(x)=e^-x^2 não é uma função elementar, isto é, não pode ser obtida por soma, subtração, produto, quociente ou composição entre funções constantes, funções polinomiais, exponenciais, raízes de índice inteiro, trigonométricas diretas e inversas ou funções logarítmicas. Quando uma função não é elementar, ainda podemos obter uma aproximação por funções polinomiais, por exemplo, o que costuma ser tratado no Cálculo Numérico e Análise Numérica.
Obtenha a expansão de f em série de Taylor para obter o valor de:
integral0^a e^-x^2 d x
em que a>0, como uma série numérica.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de de 0 até , onde . O problema nos diz que a primitiva dessa função não é uma função elementar, ou seja, não dá para encontrar uma fórmula simples usando operações comuns. Mas a gente pode usar a série de Taylor para aproximar essa integral. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor de uma função. A série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n em torno de 0 (série de Maclaurin) é dada por:
No caso da nossa função , vamos calcular essa série.

Passo 3

Vamos expandir e^y = sumn=0^infty y^nn! usando a série de Taylor da função exponencial. Sabemos que:
e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!
Aqui, , então substituindo:

Passo 4

Agora que temos a série de Taylor de integral0^a e^-x^2 dx = integral0^a sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! dx , vamos integrar termo a termo de 0 até = sumn=0^infty (-1)^nn! integral0^a x^2n dx :
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral0^a x^2n dx = [ x^2n+12n+1 ]0^a = a^2n+12n+1 de 0 até integral0^a e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n a^2n+1n! (2n+1) :
Substituindo de volta na nossa expressão:

Resposta

Portanto, a integral integral0^a e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n a^2n+1n! (2n+1) pode ser aproximada pela série numérica:

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