Sabe-se que a primitiva da função
não é uma função elementar, isto é, não pode ser obtida por soma, subtração, produto, quociente ou composição entre funções constantes, funções polinomiais, exponenciais, raízes de índice inteiro, trigonométricas diretas e inversas ou funções logarítmicas. Quando uma função não é elementar, ainda podemos obter uma aproximação por funções polinomiais, por exemplo, o que costuma ser tratado no Cálculo Numérico e Análise Numérica.
Obtenha a expansão de
em série de Taylor para obter o valor de:
em que
, como uma série numérica.
Obtenha a expansão de
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
de 0 até
, onde
. O problema nos diz que a primitiva dessa função não é uma função elementar, ou seja, não dá para encontrar uma fórmula simples usando operações comuns. Mas a gente pode usar a série de Taylor para aproximar essa integral. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função
e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor de uma função. A série de Taylor de uma função
em torno de 0 (série de Maclaurin) é dada por:
No caso da nossa função
, vamos calcular essa série.
Passo 3
Vamos expandir
usando a série de Taylor da função exponencial. Sabemos que:
Aqui,
, então substituindo:
Passo 4
Agora que temos a série de Taylor de
, vamos integrar termo a termo de 0 até
:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral de
de 0 até
:
Substituindo de volta na nossa expressão:
Resposta
Portanto, a integral
pode ser aproximada pela série numérica: