Calcule a circulação do campo de velocidades ao longo da curva que limita a parte paraboloide em que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a circulação do campo de velocidades ao longo da curva que é a fronteira da parte da paraboloide onde . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação mede o quanto o campo “gira” ao longo da curva . Como a curva está fechada e é a borda de uma superfície, o Teorema de Stokes é uma ferramenta perfeita para facilitar nossos cálculos.
Passo 3
O Teorema de Stokes nos diz que:
Aqui, é o rotacional do campo , é a superfície limitada por , e é o vetor normal à superfície.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a superfície limitada por . Como é a borda da paraboloide , podemos escolher essa própria paraboloide como superfície.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em relação ao eixo . Vamos fazer as substituições:
Com variando de a (pois quando , implica ), e de a .
Passo 6
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para a parametrização , , , os vetores tangentes são:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o determinante:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 8
A integral de superfície fica então:
Passo 9
Vamos integrar em relação a :
Então, a integral se torna:
Passo 10
Agora, vamos integrar em relação a :
Resposta
A circulação do campo de velocidades ao longo da curva é .