Calcule a circulação do campo de velocidades ao longo da curva que limita a parte paraboloide em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a circulação do campo de velocidades ao longo da curva que é a fronteira da parte da paraboloide onde . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação mede o quanto o campo “gira” ao longo da curva . Como a curva está fechada e é a borda de uma superfície, o Teorema de Stokes é uma ferramenta perfeita para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

O Teorema de Stokes nos diz que:
Aqui, é o rotacional do campo , é a superfície limitada por , e é o vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a superfície limitada por . Como é a borda da paraboloide , podemos escolher essa própria paraboloide como superfície.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em relação ao eixo . Vamos fazer as substituições:
Com variando de a (pois quando , implica ), e de a .

Passo 6

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Para a parametrização , , , os vetores tangentes são:
O vetor normal é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o determinante:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto :

Passo 8

A integral de superfície fica então:

Passo 9

Vamos integrar em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 10

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A circulação do campo de velocidades ao longo da curva é .

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