A equação de Van der Waals de mols de um gás é dada por: (10 pontos)
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Van der Waals, que faz parte da Termodinâmica dos Gases. A gente vai precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, já que está relacionado com e na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Van der Waals que nos foi dada:
Aqui, é a pressão, é o volume, é a temperatura, é o número de mols, é a constante universal dos gases, e e são constantes específicas do gás.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação, vamos expandir a equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Isso dá:

Passo 4

Agora, vamos organizar tudo em uma função igual a zero para aplicar a diferenciação implícita:
Vamos chamar essa expressão de :

Passo 5

Para encontrar e , vamos usar a diferenciação implícita. A ideia é derivar em relação a e , tratando como uma função de e .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Calculando as derivadas parciais:
Isolando :

Passo 6

Calculando e :

Passo 7

Agora, substituindo na expressão para :

Passo 8

De maneira similar, para encontrar , derivamos em relação a :
Isolando :

Passo 9

Calculando :
Então,

Resposta

As derivadas parciais são:

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