A equação de Van der Waals de n mols de um gás é dada por: (10 pontos)
(P+n^2V^2 a)(V-n b)=n R T
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule partial Vpartial T e partial Vpartial P

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Van der Waals, que faz parte da Termodinâmica dos Gases. A gente vai precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, já que está relacionado com e na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Van der Waals que nos foi dada:
(P + n^2 aV^2)(V - n b) = n R T
Aqui, é a pressão, é o volume, é a temperatura, é o número de mols, é a constante universal dos gases, e e são constantes específicas do gás.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação, vamos expandir a equação:
(P + n^2 aV^2)(V - n b) = n R T
Multiplicando os termos:
P(V - n b) + n^2 aV^2(V - n b) = n R T
Simplificando:
P V - P n b + n^2 a VV^2 - n^3 a bV^2 = n R T
Isso dá:
P V - P n b + n^2 aV - n^3 a bV^2 = n R T

Passo 4

Agora, vamos organizar tudo em uma função igual a zero para aplicar a diferenciação implícita:
P V - P n b + n^2 aV - n^3 a bV^2 - n R T = 0
Vamos chamar essa expressão de f(P, V, T) = P V - P n b + n^2 aV - n^3 a bV^2 - n R T :

Passo 5

Para encontrar partial fpartial T = 0 e partial fpartial V cdot partial Vpartial T + partial fpartial T = 0 , vamos usar a diferenciação implícita. A ideia é derivar partial Vpartial T = -partial fpartial Tpartial fpartial V em relação a e , tratando como uma função de e .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Calculando as derivadas parciais:
Isolando :

Passo 6

Calculando partial fpartial T = -n R e partial fpartial V = P + -n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3 :

Passo 7

Agora, substituindo na expressão para partial Vpartial T = - -n R P - n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3 = n R P - n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3 :

Passo 8

De maneira similar, para encontrar partial fpartial P cdot partial Vpartial P + partial fpartial P = 0 , derivamos partial Vpartial P = - partial fpartial P partial fpartial V em relação a :
Isolando :

Passo 9

Calculando partial fpartial P = V - n b :
partial Vpartial P = - V - n b P - n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3
Então,

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Vpartial T = n R P - n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3
partial Vpartial P = - V - n b P - n^2 aV^2 + 2 n^3 a bV^3

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