A equação de Van der Waals de
mols de um gás é dada por: (10 pontos)
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Van der Waals, que faz parte da Termodinâmica dos Gases. A gente vai precisar encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, já que
está relacionado com
e
na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Van der Waals que nos foi dada:
Aqui,
é a pressão,
é o volume,
é a temperatura,
é o número de mols,
é a constante universal dos gases, e
e
são constantes específicas do gás.
Passo 3
Para facilitar a diferenciação, vamos expandir a equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Isso dá:
Passo 4
Agora, vamos organizar tudo em uma função igual a zero para aplicar a diferenciação implícita:
Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 5
Para encontrar
e
, vamos usar a diferenciação implícita. A ideia é derivar
em relação a
e
, tratando
como uma função de
e
.
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Calculando as derivadas parciais:
Isolando
:
Passo 6
Calculando
e
:
Passo 7
Agora, substituindo na expressão para
:
Passo 8
De maneira similar, para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Isolando
:
Passo 9
Calculando
:
Então,
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto. Prove que a relação
é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em
.
Calcule a circulação do campo de velocidades
ao longo da curva
que limita a parte paraboloide
em que
.
Demonstre que: (20 pontos)
A temperatura em um ponto
é dada por:
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto (
. (10 pontos)