Seja
um conjunto e considere o conjunto diagonal de
definido por
Prove que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e o conjunto diagonal de
, que é definido por
O exercício pede para provar que
. Aqui, estaremos trabalhando com conceitos de teoria dos conjuntos e relações binárias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto diagonal e o que representa
, que é o gráfico da relação de igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Em teoria das relações, o gráfico de uma relação é o conjunto de todos os pares ordenados que estão relacionados pela relação. No caso da igualdade
, o gráfico é o conjunto de todos os pares de elementos que são iguais. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com o conjunto diagonal
. Por definição,
Isso significa que
contém exatamente os pares onde os dois elementos são iguais, ou seja,
para todo
em
.
Passo 4
Observando as duas definições:
Vemos que ambos os conjuntos contêm exatamente os mesmos pares ordenados onde os dois elementos são iguais.
Resposta
Portanto,
.