Seja um conjunto e considere o conjunto diagonal de definido por
Prove que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e o conjunto diagonal de , que é definido por
O exercício pede para provar que . Aqui, estaremos trabalhando com conceitos de teoria dos conjuntos e relações binárias. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto diagonal e o que representa , que é o gráfico da relação de igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Em teoria das relações, o gráfico de uma relação é o conjunto de todos os pares ordenados que estão relacionados pela relação. No caso da igualdade , o gráfico é o conjunto de todos os pares de elementos que são iguais. Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com o conjunto diagonal . Por definição,
Isso significa que contém exatamente os pares onde os dois elementos são iguais, ou seja, para todo em .

Passo 4

Observando as duas definições:
Vemos que ambos os conjuntos contêm exatamente os mesmos pares ordenados onde os dois elementos são iguais.

Resposta

Portanto, .

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