Seja X um conjunto. Prove que a relação subset é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em P(X).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto X e queremos provar que a relação de subconjunto, representada por subset, tem três propriedades específicas dentro do conjunto das partes de X, que é P(X). As propriedades que vamos analisar são:
  1. Reflexiva: Cada conjunto é subconjunto de si mesmo.
  2. Antissimétrica: Se um conjunto A está contido em B e B está contido em A, então A e B são iguais.
  3. Transitiva: Se A está contido em B e B está contido em C, então A está contido em C.
Para provar isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam à relação de subconjunto.

Passo 2

Prova de que a relação subset é reflexiva:
Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, queremos mostrar que qualquer conjunto A em P(X) é um subconjunto de si mesmo.
Explicação teórica: O conjunto A está contido em A porque todo elemento de A está, obviamente, em A.
Formalmente: Para todo , temos que .
Isso satisfaz a propriedade reflexiva.

Passo 3

Prova de que a relação subset é antissimétrica:
Uma relação é antissimétrica se, sempre que A ⊆ B e B ⊆ A, então .
Explicação teórica: Se todos os elementos de A estão em B e todos os elementos de B estão em A, então A e B contêm exatamente os mesmos elementos, ou seja, são iguais.
Formalmente: Suponha que A ⊆ B e B ⊆ A para . Então, .
Isso confirma que a relação subset é antissimétrica.

Passo 4

Prova de que a relação subset é transitiva:
Uma relação é transitiva se, sempre que A ⊆ B e , então .
Explicação teórica: Se todos os elementos de A estão em B e todos os elementos de B estão em C, então automaticamente todos os elementos de A estão em C.
Formalmente: Suponha que A ⊆ B e para . Então, .
Portanto, a relação subset é transitiva.

Resposta

Concluímos que a relação de subconjunto subset é reflexiva, antissimétrica e transitiva no conjunto das partes P(X).

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