Seja um conjunto. Prove que a relação é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto e queremos provar que a relação de subconjunto, representada por , tem três propriedades específicas dentro do conjunto das partes de , que é . As propriedades que vamos analisar são:
  1. Reflexiva: Cada conjunto é subconjunto de si mesmo.
  2. Antissimétrica: Se um conjunto está contido em e está contido em , então e são iguais.
  3. Transitiva: Se está contido em e está contido em , então está contido em .
Para provar isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam à relação de subconjunto.

Passo 2

Prova de que a relação é reflexiva:
Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, queremos mostrar que qualquer conjunto em é um subconjunto de si mesmo.
Explicação teórica: O conjunto está contido em porque todo elemento de está, obviamente, em .
Formalmente: Para todo , temos que .
Isso satisfaz a propriedade reflexiva.

Passo 3

Prova de que a relação é antissimétrica:
Uma relação é antissimétrica se, sempre que e , então .
Explicação teórica: Se todos os elementos de estão em e todos os elementos de estão em , então e contêm exatamente os mesmos elementos, ou seja, são iguais.
Formalmente: Suponha que e para . Então, .
Isso confirma que a relação é antissimétrica.

Passo 4

Prova de que a relação é transitiva:
Uma relação é transitiva se, sempre que e , então .
Explicação teórica: Se todos os elementos de estão em e todos os elementos de estão em , então automaticamente todos os elementos de estão em .
Formalmente: Suponha que e para . Então, .
Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Concluímos que a relação de subconjunto é reflexiva, antissimétrica e transitiva no conjunto das partes .

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