Seja
um conjunto. Prove que a relação
é uma relação reflexiva, antissimétrica e transitiva em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e queremos provar que a relação de subconjunto, representada por
, tem três propriedades específicas dentro do conjunto das partes de
, que é
. As propriedades que vamos analisar são:
- Reflexiva: Cada conjunto é subconjunto de si mesmo.
- Antissimétrica: Se um conjunto
está contido em e está contido em , então e são iguais. - Transitiva: Se
está contido em e está contido em , então está contido em .
Para provar isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades e como elas se aplicam à relação de subconjunto.
Passo 2
Prova de que a relação
é reflexiva:
Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, queremos mostrar que qualquer conjunto
em
é um subconjunto de si mesmo.
Explicação teórica: O conjunto
está contido em
porque todo elemento de
está, obviamente, em
.
Formalmente: Para todo
, temos que
.
Isso satisfaz a propriedade reflexiva.
Passo 3
Prova de que a relação
é antissimétrica:
Uma relação é antissimétrica se, sempre que
e
, então
.
Explicação teórica: Se todos os elementos de
estão em
e todos os elementos de
estão em
, então
e
contêm exatamente os mesmos elementos, ou seja, são iguais.
Formalmente: Suponha que
e
para
. Então,
.
Isso confirma que a relação
é antissimétrica.
Passo 4
Prova de que a relação
é transitiva:
Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Explicação teórica: Se todos os elementos de
estão em
e todos os elementos de
estão em
, então automaticamente todos os elementos de
estão em
.
Formalmente: Suponha que
e
para
. Então,
.
Portanto, a relação
é transitiva.
Resposta
Concluímos que a relação de subconjunto
é reflexiva, antissimétrica e transitiva no conjunto das partes
.
Exercícios relacionados
Calcule a circulação do campo de velocidades
ao longo da curva
que limita a parte paraboloide
em que
.
Seja
um conjunto e considere o conjunto diagonal de
definido por
Prove que
.
A equação de Van der Waals de
mols de um gás é dada por: (10 pontos)
Onde P é a pressão, V é o volume T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule
e
Demonstre que: (20 pontos)