Seja uma função e seja a relação em definida por . Prove que é uma relação de equivalência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e define uma relação em onde dois elementos e são relacionados se . Nosso objetivo é mostrar que essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, vamos usar os conceitos de relações de equivalência, que envolvem três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. É uma relação que, para qualquer par de elementos, satisfaz três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
  3. Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e esse segundo está relacionado com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.

Passo 3

Vamos começar verificando a reflexividade da relação . Precisamos mostrar que para todo , .
Sabemos que significa . Claro que isso é sempre verdade, pois qualquer coisa é igual a si mesma! Então, a relação é reflexiva.

Passo 4

Agora, vamos para a simetria. Precisamos mostrar que se , então .
Se , isso significa que . Mas a igualdade é simétrica, ou seja, se , então . Portanto, . Assim, a relação é simétrica.

Passo 5

Por último, vamos verificar a transitividade. Precisamos mostrar que se e , então .
Se , então . E se , então . Juntando essas duas igualdades, temos . Isso significa que . Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

A relação é uma relação de equivalência porque ela satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

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