Seja
uma função e seja
a relação em
definida por
. Prove que
é uma relação de equivalência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e define uma relação
em
onde dois elementos
e
são relacionados se
. Nosso objetivo é mostrar que essa relação
é uma relação de equivalência. Para isso, vamos usar os conceitos de relações de equivalência, que envolvem três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. É uma relação que, para qualquer par de elementos, satisfaz três propriedades:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
- Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e esse segundo está relacionado com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
Passo 3
Vamos começar verificando a reflexividade da relação
. Precisamos mostrar que para todo
,
.
Sabemos que
significa
. Claro que isso é sempre verdade, pois qualquer coisa é igual a si mesma! Então, a relação
é reflexiva.
Passo 4
Agora, vamos para a simetria. Precisamos mostrar que se
, então
.
Se
, isso significa que
. Mas a igualdade é simétrica, ou seja, se
, então
. Portanto,
. Assim, a relação
é simétrica.
Passo 5
Por último, vamos verificar a transitividade. Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Se
, então
. E se
, então
. Juntando essas duas igualdades, temos
. Isso significa que
. Portanto, a relação
é transitiva.
Resposta
A relação
é uma relação de equivalência porque ela satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
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OBS: TODAS AS SOLUÇÕES DEVERÃO TER CONTAS.
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e
. ( 20 pontos)
Seja
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definido por
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.
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em que
.