Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva que é a interseção do plano com o cilindro de raio centrado no eixo . Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva , que é a interseção entre o plano e um cilindro de raio centrado no eixo . Para facilitar nosso trabalho, vamos usar o Teorema de Stokes, que nos ajuda a transformar uma circulação em uma integral de superfície. Então, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Ele diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como contorno. Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, é o vetor normal à superfície . A escolha da superfície é importante para simplificar os cálculos, e vamos ver qual é a melhor opção em seguida.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando o determinante, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície para aplicar o Teorema de Stokes. A curva é a interseção do plano com o cilindro (já que o raio ). Para simplificar, vamos escolher a parte do plano que está dentro do cilindro como nossa superfície . Isso é legal porque o plano é simples de parametrizar e o domínio da integral vai ser fácil de definir.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície . No plano , podemos expressar em função de e :
Como a superfície está limitada pelo cilindro , nosso domínio de integração é o interior desse cilindro no plano . Então, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 6
Primeiro, calculamos o vetor normal à superfície. Como , a equação implícita é , e o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, . Normalizando, temos:
Agora, a integral do rotacional sobre a superfície é:
Calculando o produto escalar:
Então, a integral fica:
A área é o círculo de raio 2, então sua área é .
Resposta
A circulação do campo vetorial ao longo da curva é: