Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva que é a interseção do plano com o cilindro de raio centrado no eixo . Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva , que é a interseção entre o plano e um cilindro de raio centrado no eixo . Para facilitar nosso trabalho, vamos usar o Teorema de Stokes, que nos ajuda a transformar uma circulação em uma integral de superfície. Então, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Ele diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como contorno. Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, é o vetor normal à superfície . A escolha da superfície é importante para simplificar os cálculos, e vamos ver qual é a melhor opção em seguida.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando o determinante, temos:
nabla times H = ( partial ypartial y - partial (-x)partial z ) i - ( partial ypartial x - partial zpartial z ) j + ( partial (-x)partial x - partial zpartial y ) k
Simplificando, fica:
nabla times H = (1 - 0) i - (0 - 1) j + (-1 - 0) k = i + j - k
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície S para aplicar o Teorema de Stokes. A curva C é a interseção do plano x+y+z=3 com o cilindro x^2 + y^2 = 4 (já que o raio R=2). Para simplificar, vamos escolher a parte do plano x+y+z=3 que está dentro do cilindro como nossa superfície S. Isso é legal porque o plano é simples de parametrizar e o domínio da integral vai ser fácil de definir.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície S. No plano x+y+z=3, podemos expressar z em função de x e y:
z = 3 - x - y
Como a superfície está limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4, nosso domínio de integração é o interior desse cilindro no plano xy. Então, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 6
Primeiro, calculamos o vetor normal n à superfície. Como z = 3 - x - y, a equação implícita é x + y + z - 3 = 0, e o vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (1,1,1). Normalizando, temos:
n = 1raiz3 (1,1,1)
Agora, a integral do rotacional sobre a superfície é:
integral duplaS (nabla times H) cdot n , dS = integral duplaD (i + j - k) cdot 1raiz3 (1,1,1) , dA