Calcule a circulação do campo vetorial H=z i-x j+y k ao longo da curva C que é a interseção do plano x+y+z=3 com o cilindro de raio R=2 centrado no eixo z. Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a circulação de um campo vetorial H=z i-x j+y k ao longo de uma curva C, que é a interseção entre o plano x+y+z=3 e um cilindro de raio R=2 centrado no eixo z. Para facilitar nosso trabalho, vamos usar o Teorema de Stokes, que nos ajuda a transformar uma circulação em uma integral de superfície. Então, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de H e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Ele diz que a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C é igual à integral do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como contorno. Matematicamente, isso é escrito como:
ointC H cdot dr = integral duplaS (nabla times H) cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S. A escolha da superfície S é importante para simplificar os cálculos, e vamos ver qual é a melhor opção em seguida.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de H. O rotacional é dado por:
nabla times H = | ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z z & -x & y |
Calculando o determinante, temos:
nabla times H = ( partial ypartial y - partial (-x)partial z ) i - ( partial ypartial x - partial zpartial z ) j + ( partial (-x)partial x - partial zpartial y ) k
Simplificando, fica:
nabla times H = (1 - 0) i - (0 - 1) j + (-1 - 0) k = i + j - k

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S para aplicar o Teorema de Stokes. A curva C é a interseção do plano x+y+z=3 com o cilindro x^2 + y^2 = 4 (já que o raio R=2). Para simplificar, vamos escolher a parte do plano x+y+z=3 que está dentro do cilindro como nossa superfície S. Isso é legal porque o plano é simples de parametrizar e o domínio da integral vai ser fácil de definir.

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície S. No plano x+y+z=3, podemos expressar z em função de x e y:
z = 3 - x - y
Como a superfície está limitada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4, nosso domínio de integração é o interior desse cilindro no plano xy. Então, podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 6

Primeiro, calculamos o vetor normal n à superfície. Como z = 3 - x - y, a equação implícita é x + y + z - 3 = 0, e o vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (1,1,1). Normalizando, temos:
n = 1raiz3 (1,1,1)
Agora, a integral do rotacional sobre a superfície é:
integral duplaS (nabla times H) cdot n , dS = integral duplaD (i + j - k) cdot 1raiz3 (1,1,1) , dA
Calculando o produto escalar:
(i + j - k) cdot 1raiz3 (1,1,1) = 1 + 1 - 1raiz3 = 1raiz3
Então, a integral fica:
1raiz3 integral duplaD dA
A área D é o círculo de raio 2, então sua área é pi (2)^2 = 4pi.

Resposta

A circulação do campo vetorial H ao longo da curva C é:
ointC H cdot dr = 1raiz3 times 4pi = 4piraiz3

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