Para um vetor
expresso em coordenadas polares, considere
e
. Resolva:
b - Determine o ângulo
em relação ao eixo
usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.
b - Determine o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
expresso em coordenadas polares, com
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir o ângulo
que esse vetor forma com o eixo
usando as transformações para coordenadas retangulares. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as componentes de um vetor das coordenadas polares para as coordenadas retangulares (ou cartesianas). Em coordenadas polares, um vetor é descrito por sua magnitude na direção radial (
) e na direção angular (
).
As fórmulas para converter essas componentes para as componentes cartesianas (
e
) são:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ângulo
que o vetor faz com o eixo
. Para isso, vamos usar a relação entre as componentes cartesianos e o ângulo:
Mas antes de aplicar isso, precisamos expressar
e
em termos de
usando as fórmulas que mencionamos.
Passo 4
Substituindo os valores de
e
nas equações:
Agora, temos
e
em função de
. Vamos usar a relação do tangente para encontrar
.
Passo 5
Usando a relação
:
Essa equação pode ser um pouco complicada para resolver diretamente, então vamos simplificar usando identidades trigonométricas ou métodos de substituição.
Passo 6
Uma abordagem mais simples é considerar que o ângulo
pode ser encontrado usando a fórmula:
Mas para isso, precisamos ter os valores de
e
. Vamos assumir que o vetor está posicionado de forma que a soma das componentes nos dá o ângulo desejado.
Passo 7
Vamos usar a seguinte relação para encontrar o ângulo:
Resposta
O ângulo
em relação ao eixo
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
que é a interseção do plano
com o cilindro de raio
centrado no eixo
. Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo através da superfície superior.
b - Calcule o fluxo do campo
Dado o vetor
em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
b - Calcule o módulo do vetor
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo.
c - Determine o fluxo total de