Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
b - Determine o ângulo em relação ao eixo usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor expresso em coordenadas polares, com e . Nosso objetivo aqui é descobrir o ângulo que esse vetor forma com o eixo usando as transformações para coordenadas retangulares. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as componentes de um vetor das coordenadas polares para as coordenadas retangulares (ou cartesianas). Em coordenadas polares, um vetor é descrito por sua magnitude na direção radial ( ) e na direção angular ( ).
As fórmulas para converter essas componentes para as componentes cartesianas ( e ) são:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ângulo que o vetor faz com o eixo . Para isso, vamos usar a relação entre as componentes cartesianos e o ângulo:
Mas antes de aplicar isso, precisamos expressar e em termos de usando as fórmulas que mencionamos.

Passo 4

Substituindo os valores de e nas equações:
Agora, temos e em função de . Vamos usar a relação do tangente para encontrar .

Passo 5

Usando a relação :
Essa equação pode ser um pouco complicada para resolver diretamente, então vamos simplificar usando identidades trigonométricas ou métodos de substituição.

Passo 6

Uma abordagem mais simples é considerar que o ângulo pode ser encontrado usando a fórmula:
Mas para isso, precisamos ter os valores de e . Vamos assumir que o vetor está posicionado de forma que a soma das componentes nos dá o ângulo desejado.

Passo 7

Vamos usar a seguinte relação para encontrar o ângulo:

Resposta

O ângulo em relação ao eixo é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva que é a interseção do plano com o cilindro de raio centrado no eixo . Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo através da superfície superior.
Dado o vetor em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo.