Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor A é dado por A=Ar r+Atheta theta+Avarphi varphi, onde Ar=5 N / m, Atheta=2 N / m, e Avarphi=3 N / m. Determine:
a - A componente Ax do vetor A na direção do eixo x, utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor A definido em coordenadas esféricas, onde A = Ar r + Atheta theta + Avarphi varphi. Os componentes são Ar = 5, N/m, Atheta = 2, N/m e Avarphi = 3, N/m. A missão aqui é encontrar a componente Ax desse vetor na direção do eixo x nas coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as unidades vetoriais esféricas ( r, theta, varphi) se relacionam com as unidades cartesianas ( x, y, z). As relações são:
r &= sintheta cosvarphi, x + sintheta sinvarphi, y + costheta, z theta &= costheta cosvarphi, x + costheta sinvarphi, y - sintheta, z varphi &= -sinvarphi, x + cosvarphi, y

Passo 3

Agora, queremos achar Ax, a componente do vetor A na direção de x. Vamos expressar A em termos das unidades cartesianas usando as relações acima:
A = Ar r + Atheta theta + Avarphi varphi
Substituindo as expressões das unidades esféricas:
A = Ar (sintheta cosvarphi, x + sintheta sinvarphi, y + costheta, z) + Atheta (costheta cosvarphi, x + costheta sinvarphi, y - sintheta, z) + Avarphi (-sinvarphi, x + cosvarphi, y)

Passo 4

Agora, vamos focar apenas na direção x. Para isso, somamos todas as contribuições na direção x:
Ax = Ar sintheta cosvarphi + Atheta costheta cosvarphi + Avarphi (-sinvarphi)

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos:
Ax = 5, N/m cdot sintheta cosvarphi + 2, N/m cdot costheta cosvarphi + 3, N/m cdot (-sinvarphi)

Resposta

A componente Ax do vetor A na direção do eixo x é dada por:
Ax = 5, sintheta cosvarphi + 2, costheta cosvarphi - 3, sinvarphi, N/m

Exercícios relacionados