Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor é dado por , onde , e . Determine:
a - A componente do vetor na direção do eixo , utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor definido em coordenadas esféricas, onde . Os componentes são , e . A missão aqui é encontrar a componente desse vetor na direção do eixo nas coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as unidades vetoriais esféricas ( , , ) se relacionam com as unidades cartesianas ( , , ). As relações são:

Passo 3

Agora, queremos achar , a componente do vetor na direção de . Vamos expressar em termos das unidades cartesianas usando as relações acima:
Substituindo as expressões das unidades esféricas:

Passo 4

Agora, vamos focar apenas na direção . Para isso, somamos todas as contribuições na direção :

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos:

Resposta

A componente do vetor na direção do eixo é dada por:

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Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução. ;
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b - Calcule o fluxo do campo através da superfície superior.
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