Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor
é dado por
, onde
, e
. Determine:
a - A componente
do vetor
na direção do eixo
, utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.
a - A componente
Passo 1
Então, a gente tem um vetor
definido em coordenadas esféricas, onde
. Os componentes são
,
e
. A missão aqui é encontrar a componente
desse vetor na direção do eixo
nas coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as unidades vetoriais esféricas (
,
,
) se relacionam com as unidades cartesianas (
,
,
). As relações são:
Passo 3
Agora, queremos achar
, a componente do vetor
na direção de
. Vamos expressar
em termos das unidades cartesianas usando as relações acima:
Substituindo as expressões das unidades esféricas:
Passo 4
Agora, vamos focar apenas na direção
. Para isso, somamos todas as contribuições na direção
:
Passo 5
Substituindo os valores fornecidos:
Resposta
A componente
do vetor
na direção do eixo
é dada por: