Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor
é dado por
, onde
, e
. Determine:
a - A componente
do vetor
na direção do eixo
, utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.
a - A componente
Passo 1
Então, a gente tem um vetor
definido em coordenadas esféricas, onde
. Os componentes são
,
e
. A missão aqui é encontrar a componente
desse vetor na direção do eixo
nas coordenadas cartesianas. Para fazer isso, vamos usar as relações de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as unidades vetoriais esféricas (
,
,
) se relacionam com as unidades cartesianas (
,
,
). As relações são:
Passo 3
Agora, queremos achar
, a componente do vetor
na direção de
. Vamos expressar
em termos das unidades cartesianas usando as relações acima:
Substituindo as expressões das unidades esféricas:
Passo 4
Agora, vamos focar apenas na direção
. Para isso, somamos todas as contribuições na direção
:
Passo 5
Substituindo os valores fornecidos:
Resposta
A componente
do vetor
na direção do eixo
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução.
;
Dado um campo vetorial
, determine o rotacional de
e verifique o valor da integral de superfície de
sobre uma superfície quadrada
delimitada pelos vértices
, e
. Considere que o vetor normal à superfície aponta para cima.
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo através da superfície superior.
b - Calcule o fluxo do campo
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
que é a interseção do plano
com o cilindro de raio
centrado no eixo
. Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.