Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo através da superfície superior.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelepípedo delimitado pelos planos , , , , e . O que a gente precisa calcular é o fluxo do campo através da superfície superior desse paralelepípedo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície . No nosso caso, a superfície superior do paralelepípedo está no plano .

Passo 3

Como a superfície está no plano , o vetor normal aponta para cima, na direção do eixo . Portanto, .
Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Com isso, o fluxo se simplifica para:
Mas, na superfície superior, . Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da superfície superior. Sabemos que a extensão em vai de 0 a 2 metros e em vai de 0 a 3 metros. Então, a área da superfície é:

Passo 6

Finalmente, como , temos:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície superior é .

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Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor é dado por , onde , e . Determine:
a - A componente do vetor na direção do eixo , utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução. ;
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva que é a interseção do plano com o cilindro de raio centrado no eixo . Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
b - Determine o ângulo em relação ao eixo usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.