Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos x=0, x=2 m, y=0, y=3 m, z=0 e z=1 m. Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo H=x i+y j+z k A / m^2 através da superfície superior.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelepípedo delimitado pelos planos , , , , e . O que a gente precisa calcular é o fluxo do campo através da superfície superior desse paralelepípedo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial Fluxo = integral duplaS H cdot n , dS através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície . No nosso caso, a superfície superior do paralelepípedo está no plano .

Passo 3

Como a superfície está no plano H cdot n = (x, i + y, j + z, k) cdot k = z , o vetor normal aponta para cima, na direção do eixo . Portanto, .
Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Com isso, o fluxo se simplifica para:
Fluxo = integral duplaS z , dS
Mas, na superfície superior, Fluxo = integral duplaS 1 , dS . Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da superfície superior. Sabemos que a extensão em A = comprimento times largura = 2 , m times 3 , m = 6 , m^2 vai de 0 a 2 metros e em vai de 0 a 3 metros. Então, a área da superfície é:

Passo 6

Finalmente, como Fluxo = 6 , A cdot m^2 , temos:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície superior é .

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