Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo
através da superfície superior.
b - Calcule o fluxo do campo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelepípedo delimitado pelos planos
,
,
,
,
e
. O que a gente precisa calcular é o fluxo do campo
através da superfície superior desse paralelepípedo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
. No nosso caso, a superfície superior do paralelepípedo está no plano
.
Passo 3
Como a superfície está no plano
, o vetor normal
aponta para cima, na direção do eixo
. Portanto,
.
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Com isso, o fluxo se simplifica para:
Mas, na superfície superior,
. Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da superfície superior. Sabemos que a extensão em
vai de 0 a 2 metros e em
vai de 0 a 3 metros. Então, a área
da superfície é:
Passo 6
Finalmente, como
, temos:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície superior é
.
Exercícios relacionados
Em um sistema de coordenadas esféricas, um vetor
é dado por
, onde
, e
. Determine:
a - A componente do vetor
na direção do eixo
, utilizando as relações entre as coordenadas esféricas e cartesianas.
a - A componente
Determine se cada uma das equações abaixo é exata. Para as exatas, encontre a solução.
;
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
que é a interseção do plano
com o cilindro de raio
centrado no eixo
. Utilize o Teorema de Stokes para simplificar o cálculo e justifique a escolha da superfície para aplicação do teorema.
Para um vetor
expresso em coordenadas polares, considere
e
. Resolva:
b - Determine o ângulo em relação ao eixo
usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.
b - Determine o ângulo