Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
, com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, que é o círculo
no plano
. Vamos precisar usar duas abordagens: um cálculo direto e o Teorema de Stokes.
Passo 2
i. Cálculo Direto
Primeiro, vamos calcular a circulação diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva
.
A curva é um círculo de raio 2 no plano
, então podemos usar as seguintes parametrizações:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor posição
e o vetor diferencial
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de
,
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 5
A circulação é dada pela integral de linha:
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
ii. Usando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial sobre uma curva fechada à integral da rotacional desse campo sobre uma superfície que tem
como fronteira.
Primeiro, vamos calcular a rotacional de
:
Substituindo
:
Passo 8
Vamos escolher a superfície
como o disco no plano
limitado pela curva
. O vetor normal
para essa superfície é
.
A integral de superfície fica:
Passo 9
A área do disco
é:
Então:
Resposta
A circulação do campo vetorial
ao longo da curva
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do cone
.
Calcule a integral
com
e
a superfície da esfera
.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.