Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva , que é o círculo no plano . Vamos precisar usar duas abordagens: um cálculo direto e o Teorema de Stokes.

Passo 2

i. Cálculo Direto
Primeiro, vamos calcular a circulação diretamente. Para isso, precisamos parametrizar a curva .
A curva é um círculo de raio 2 no plano , então podemos usar as seguintes parametrizações:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor posição e o vetor diferencial :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de , e na expressão do campo vetorial :

Passo 5

A circulação é dada pela integral de linha:
çã
Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos:
çã
Sabemos que:
Então:
çã

Passo 7

ii. Usando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial sobre uma curva fechada à integral da rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira.
Primeiro, vamos calcular a rotacional de :
Substituindo :

Passo 8

Vamos escolher a superfície como o disco no plano limitado pela curva . O vetor normal para essa superfície é .
A integral de superfície fica:

Passo 9

A área do disco é:
Á
Então:

Resposta

A circulação do campo vetorial ao longo da curva é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a superfície do cone .
Calcule a integral
com e a superfície da esfera .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .