Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a superfície do cone .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função vetorial ao longo de uma curva , que é a fronteira da superfície . Essa superfície é o cone definido por , no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície do rotacional de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de linha ao redor de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de , que é . A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
  • , então e .
  • , então e .
  • , então e .
Substituindo:

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície , que é um cone dado por com . Uma boa forma de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
Porque, substituindo na equação do cone, ficamos com , o que confirma que estamos na superfície correta. Então, varia de 0 a 1 e de a .

Passo 5

Vamos agora calcular o produto . Primeiro, precisamos do vetor normal à superfície. Em coordenadas cilíndricas para o cone, o vetor normal pode ser encontrado a partir dos vetores tangentes. Mas para simplificar, podemos usar a fórmula:
No nosso caso, , então:
Portanto,
Agora, substituindo :
Como , usamos coordenadas cilíndricas:
A integral de superfície fica então:
Onde varia de 0 a 1 e de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Resposta

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Calcule a integral
com e a superfície da esfera .
Calcule o volume do cilindro e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .