Calcule a integral
ointC F bul<=t d r
com C=partial S, em cada um dos seguintes casos: F=x^2 i+y^2 j+x^2 k, com S a superfície do cone z^2=x^2+y^2, 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função vetorial F = x^2 i + y^2 j + x^2 k ao longo de uma curva C, que é a fronteira da superfície S. Essa superfície S é o cone definido por z^2 = x^2 + y^2, no intervalo 0 <= z <= 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície do rotacional de F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha ao redor de C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre S, onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • Fx = x^2, então partial Fxpartial z = 0 e partial Fxpartial y = 0.
  • Fy = y^2, então partial Fypartial z = 0 e partial Fypartial x = 0.
  • Fz = x^2, então partial Fzpartial y = 0 e partial Fzpartial x = 2x.
Substituindo:
nabla times F = (0 - 0) i + (0 - 2x) j + (0 - 0) k = -2x j

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S, que é um cone dado por z^2 = x^2 + y^2 com 0 <= z <= 1. Uma boa forma de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta y = r sintheta z = r
Porque, substituindo z = r na equação do cone, ficamos com r^2 = r^2, o que confirma que estamos na superfície correta. Então, r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos agora calcular o produto (nabla times F) cdot n. Primeiro, precisamos do vetor normal n à superfície. Em coordenadas cilíndricas para o cone, o vetor normal pode ser encontrado a partir dos vetores tangentes. Mas para simplificar, podemos usar a fórmula:
n , dS = (-partial zpartial x, -partial zpartial y, 1) dx dy
No nosso caso, z = raizx^2 + y^2, então:
partial zpartial x = xraizx^2 + y^2 = xz partial zpartial y = yraizx^2 + y^2 = yz
Portanto,
n , dS = (-xz, -yz, 1) dx dy
Agora, substituindo (nabla times F) = -2x j:
(nabla times F) cdot n = -2x cdot (-yz) = 2xyz
Como z = r, usamos coordenadas cilíndricas:
2xyz = 2r^2 costheta sinthetar = 2r costheta sintheta
A integral de superfície fica então:
integral duplaS 2r costheta sintheta cdot r , dr dtheta = 2 integral duplaS r^2 costheta sintheta , dr dtheta
Onde r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
2 integral0^2pi integral0^1 r^2 costheta sintheta , dr dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^2 , dr = [r^33]0^1 = 13
Então, a integral fica:
2 cdot 13 integral0^2pi costheta sintheta , dtheta = 23 integral0^2pi costheta sintheta , dtheta
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
costheta sintheta = 12 sin(2theta)
Então,
23 cdot 12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 13 [-cos(2theta)2]0^2pi = 13 (-cos(4pi) - cos(0)2) = 13 (-1 - 12) = 0

Resposta

ointC F cdot dr = 0

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