Calcule a integral
com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo de uma curva
, que é a fronteira da superfície
. Essa superfície
é o cone definido por
, no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com a integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de linha ao redor de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
-
, então e . -
, então e . -
, então e .
Substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
, que é um cone dado por
com
. Uma boa forma de fazer isso é usar coordenadas cilíndricas, onde:
Porque, substituindo
na equação do cone, ficamos com
, o que confirma que estamos na superfície correta. Então,
varia de 0 a 1 e
de
a
.
Passo 5
Vamos agora calcular o produto
. Primeiro, precisamos do vetor normal
à superfície. Em coordenadas cilíndricas para o cone, o vetor normal pode ser encontrado a partir dos vetores tangentes. Mas para simplificar, podemos usar a fórmula:
No nosso caso,
, então:
Portanto,
Agora, substituindo
:
Como
, usamos coordenadas cilíndricas:
A integral de superfície fica então:
Onde
varia de 0 a 1 e
de
a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a integral
com
e
a superfície da esfera
.
Calcule o volume do cilindro
e
.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,