Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva de duas formas: de maneira direta e usando o Teorema de Stokes. A gente vai precisar entender o que é circulação, como calcular integrais de linha diretamente e como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é definida pelas equações e . Isso significa que é a interseção dessas duas superfícies. Substituindo na primeira equação, temos , que representa um círculo de raio 3 no plano quando .

Passo 3

Agora, vamos ver o campo vetorial que temos:
Queremos calcular a circulação desse campo ao longo da curva .

Passo 4

Método i: Cálculo Direto
Para calcular a circulação diretamente, usamos a integral de linha:
Vamos precisar parametrizar a curva .

Passo 5

Parametrizando o círculo : Como e , podemos usar parametrização polar no plano :
Então, a posição vetorial é:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Agora, substituímos , e na expressão de :

Passo 8

Calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos de a :
Sabemos que as integrais de e de a são zero, pois são funções ímpares sobre um período completo.

Passo 10

Portanto, a circulação direta é:

Passo 11

Método ii: Usando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha da circulação de pela integral de superfície do rotacional de :
Vamos calcular e depois a integral sobre a superfície limitada por .

Passo 12

Calculando o rotacional de :

Passo 13

A normal é dada como , então:
Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície . Escolhemos como o disco no plano com .

Passo 14

A integral de superfície fica:
Como na superfície, substituímos:
Podemos converter para coordenadas polares no plano :
O elemento diferencial .

Passo 15

Substituindo na integral:
Separando a integral:

Passo 16

Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
(Pois a integral de de a é zero)

Passo 17

Somando as duas partes:

Resposta

A circulação do campo vetorial ao longo da curva é .

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Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule a integral
com , em cada um dos seguintes casos: , com a superfície do cone .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .