Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a circulação do campo vetorial ao longo da curva de duas formas: de maneira direta e usando o Teorema de Stokes. A gente vai precisar entender o que é circulação, como calcular integrais de linha diretamente e como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é definida pelas equações e . Isso significa que é a interseção dessas duas superfícies. Substituindo na primeira equação, temos , que representa um círculo de raio 3 no plano quando .
Passo 3
Agora, vamos ver o campo vetorial que temos:
Queremos calcular a circulação desse campo ao longo da curva .
Passo 4
Método i: Cálculo Direto
Para calcular a circulação diretamente, usamos a integral de linha:
Vamos precisar parametrizar a curva .
Passo 5
Parametrizando o círculo : Como e , podemos usar parametrização polar no plano :
Então, a posição vetorial é:
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Agora, substituímos , e na expressão de :
Passo 8
Calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Passo 9
Agora, integramos de a :
Sabemos que as integrais de e de a são zero, pois são funções ímpares sobre um período completo.
Passo 10
Portanto, a circulação direta é:
Passo 11
Método ii: Usando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha da circulação de pela integral de superfície do rotacional de :
Vamos calcular e depois a integral sobre a superfície limitada por .
Passo 12
Calculando o rotacional de :
Passo 13
A normal é dada como , então:
Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície . Escolhemos como o disco no plano com .
Passo 14
A integral de superfície fica:
Como na superfície, substituímos:
Podemos converter para coordenadas polares no plano :
O elemento diferencial .
Passo 15
Substituindo na integral:
Separando a integral:
Passo 16
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral:
(Pois a integral de de a é zero)
Passo 17
Somando as duas partes:
Resposta
A circulação do campo vetorial ao longo da curva é .