Calcule a integral
com
e
a superfície da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral dupla sobre a superfície de uma esfera de raio 1. As funções envolvidas são
e
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de superfícies usando derivadas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função na direção normal à superfície e depois integrar o resultado sobre toda a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa expressão representa a derivada de
na direção normal à superfície
. Para encontrar isso, precisamos calcular o gradiente de
e depois projetá-lo na direção do vetor normal à esfera.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície da esfera. Para a esfera
, o vetor normal
é simplesmente o vetor posição dividido pelo seu comprimento, que no caso da esfera unitária é:
A derivada normal de
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor normal:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
pela derivada normal de
:
Para integrar isso sobre a esfera, vamos usar simetria. Sabemos que, em uma esfera unitária, as integrais de termos como
,
e
são todas iguais. Além disso, a integral de
e
também pode ser expressa em termos de integrais conhecidas em esferas.
Depois de calcular todas essas integrais usando coordenadas esféricas ou tabelas de integrais de superfícies, somamos os resultados.
Resposta
Após os cálculos, a integral vale
.