Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como medir distâncias e ângulos na superfície usando as coordenadas e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e , e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso significa derivar cada componente de em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Agora que temos e , vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental: , e . Esses coeficientes são produtos escalares das derivadas parciais.
Vamos calcular cada um deles:

Resposta

Então, a primeira forma fundamental da superfície é:
Ou simplesmente:

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Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule as seguintes integrais de linha: , é um círculo de raio e e são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva .