Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização
. Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como medir distâncias e ângulos na superfície usando as coordenadas
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
, e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental:
,
e
. Esses coeficientes são produtos escalares das derivadas parciais.
Vamos calcular cada um deles:
Resposta
Então, a primeira forma fundamental da superfície é:
Ou simplesmente:
Exercícios relacionados
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule as seguintes integrais de linha:
,
é um círculo de raio
e
e
são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva
.