Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização
. Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como medir distâncias e ângulos na superfície usando as coordenadas
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
, e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental:
,
e
. Esses coeficientes são produtos escalares das derivadas parciais.
Vamos calcular cada um deles:
Resposta
Então, a primeira forma fundamental da superfície é:
Ou simplesmente: