Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = (u + v) i + (u - v) j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como medir distâncias e ângulos na superfície usando as coordenadas e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e , e depois usar esses resultados para encontrar os coeficientes da primeira forma fundamental: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso significa derivar cada componente de em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Agora que temos e , vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental: , e . Esses coeficientes são produtos escalares das derivadas parciais.
Vamos calcular cada um deles:

Resposta

Então, a primeira forma fundamental da superfície é:
Ou simplesmente:

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