Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde estudamos propriedades de superfícies usando cálculos de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada direção.
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são , e . Esses coeficientes são obtidos através dos produtos escalares das derivadas parciais:
Calculando cada um:

Passo 4

Finalmente, a primeira forma fundamental é expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é .

Exercícios relacionados

Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
Calcule as seguintes integrais de linha: , é um círculo de raio e e são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva .
Seja uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em . Mostre que se em ,
para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em .