Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = 2 cos(u) i + 2 sen(u) j + v k.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde estudamos propriedades de superfícies usando cálculos de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada direção.
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são , e . Esses coeficientes são obtidos através dos produtos escalares das derivadas parciais:
Calculando cada um:

Passo 4

Finalmente, a primeira forma fundamental é expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é .

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