Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização . Isso faz parte da matéria de Geometria Diferencial, onde estudamos propriedades de superfícies usando cálculos de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial
em relação a
e
. Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta em cada direção.
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da primeira forma fundamental, que são
,
e
. Esses coeficientes são obtidos através dos produtos escalares das derivadas parciais:
Calculando cada um:
Passo 4
Finalmente, a primeira forma fundamental é expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície é
.
Exercícios relacionados
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule as seguintes integrais de linha:
,
é um círculo de raio
e
e
são de funções com derivadas parciais de primeira ordem contínuas na região delimitada pela curva
.
Seja
uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em
. Mostre que se
em
,
para qualquer função contínua
com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em
.